[论文解读] Explicit Solution of Infinite-Horizon Linear Backward Stochastic Volterra Integral Equations

Samia Yakhlef, Hilel Ardjan|arXiv (Cornell University)|Mar 16, 2026

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一句话总结

本文将线性向后随机Volterra积分方程的显式解理论扩展到无限时域，构造无限时域的分辨核并通过Girsanov变换和Malliavin基础表示出解的各分量。

ABSTRACT

We study linear backward stochastic Volterra integral equations (BSVIEs) on the infinite time horizon. By introducing weighted function spaces with exponential decay, we establish existence and uniqueness of adapted M-solutions. We construct an infinite-horizon resolvent kernel and derive explicit formulas for the solution components (Y,Z,K) using a Girsanov transformation and Hida-Malliavin calculus. The results extend the finite-horizon theory of Hu and Oksendal to the infinite horizon framework.

研究动机与目标

• 研究具有记忆效应的向后随机Volterra积分方程在无限时域上的动机与意义
• 在带权、指数衰减的空间内建立存在性与唯一性的自适应M解
• 利用无限时域分辨核和测度变换导出（Y,Z,K）的显式解表示
• 将Hu与Øksendal的有限时域结果推广至无限时域
• 在变换后的测度下，基于Malliavin微积分给出Z与K分量的表示式

提出的方法

• 引入带指数衰减的加权函数空间以处理无限时域的可积性
• 将无限时域分辨核Psi(t,s)构造成级数Psi = ∑ Phi^(n)并证明其收敛
• 应用Girsanov变换消去漂移项中的Z和K，定义等效测度Q
• 给出在Q下以条件期望和分辨核为基础的显式Y(t)表示（式(5)）
• 利用Clark–Ocone型Malliavin表示在Q下表达Z(t,s)和K(t,s,ζ)（式(7)-(8)）
• 在确定系数情形给出确定性简化（Corollary 3.7）

实验结果

研究问题

• RQ1 如何在具有记忆效应的无限时域内求解线性BSVIE？
• RQ2 是否可以构造无限时域分辨核并利用其得到显式解？
• RQ3 Malliavin微积分与Girsanov变换如何在该设置下给出Z和K的显式表示？
• RQ4 在带权、指数衰减空间中存在性、唯一性与收敛性的条件是什么？
• RQ5 结果如何与Hu与Øksendal的有限时域理论衔接并推广至无限时域？

主要发现

• 在带指数衰减的加权空间内存在唯一的自适应M解
• 构造了无限时域分辨核Psi(t,s)，其为对迭代核Phi^(n)的统一收敛级数
• 在变换后的测度Q下Y(t)具有显式表示（式(5)）
• 在Q下Z(t,s)与K(t,s,ζ)具有明确的Malliavin表示（式(7)-(8)）
• 确定系数情形下的简化给出更简洁的Z和K表达（Corollary 3.7）
• 结果将Hu与Øksendal的有限时域理论扩展到无限时域