[论文解读] Exploiting Automorphisms of Temporal Graphs for Fast Exploration and Rendezvous

Konstantinos Dogeas, Thomas Erlebach+3 more|arXiv (Cornell University)|Dec 12, 2023

Opportunistic and Delay-Tolerant Networks被引用 1

一句话总结

本文引入了在时序图中使用图自同构与顶点轨道，以实现更快的探索与会合。证明了时序探索可在 O(rn^{1+ϵ}) 时间步内完成，其中 r 为轨道数，显著优于一般连通时序图的 Θ(n²) 上限。该研究还建立了快速会合协议，并提出一种随机化算法，可高概率地构造访问给定轨道中所有顶点的时序路径。

ABSTRACT

Temporal graphs are graphs where the edge set can change in each time step, and the vertex set stays the same. Exploration of temporal graphs whose snapshot in each time step is a connected graph, called connected temporal graphs, has been widely studied. We extend the concept of graph automorphisms from static graphs to temporal graphs and show that symmetries enable faster exploration: We prove that a connected temporal graph with $n$ vertices and orbit number $r$ (i.e., $r$ is the number of automorphism orbits) can be explored in $O(r n^{1+ε})$ time steps, for any fixed $ε>0$. For $r=O(n^c)$ for constant $c<1$, this is a significant improvement over the known tight worst-case bound of $Θ(n^2)$ time steps for arbitrary connected temporal graphs. We also give two lower bounds for exploration, showing that $Ω(n \log n)$ time steps are required for some inputs with $r=O(1)$ and that $Ω(rn)$ time steps are required for some inputs for any $r$ with $1\le r\le n$. The techniques we develop for fast exploration are used to derive the following result for rendezvous in connected temporal graphs: Two agents are placed by an adversary at arbitrary vertices and given full information about the temporal graph, except that they do not have consistent vertex labels. The agents can meet at a common vertex after $O(n^{1+ε})$ time steps, for any $ε>0$. For some connected temporal graphs with constant orbit number we present a complementary lower bound of $Ω(n\log n)$ time steps. Finally, we give a randomized algorithm to construct a temporal walk $W$ that visits all vertices of a given orbit with probability at least $1-ε$ for any $0<ε<1$ such that $W$ spans $O((n^{5/3}+rn)\log n)$ time steps. The runtime of this algorithm consists of $O(n^{1/3} \log (n/ε))$ linear-time scans of the snapshots that exist in this time span.

研究动机与目标

• 形式化并分析无通信能力且顶点标签不一致的异构代理的时序会合问题（trp）。
• 利用图自同构与顶点轨道，推导时序探索与会合的更紧上界与下界。
• 设计一种随机化算法，高效构造高概率访问给定轨道中所有顶点的时序路径。
• 通过利用时序图中的结构对称性，弥合探索与会合问题的上下界差距。

提出的方法

• 引入时序图中自同构轨道的概念，并将轨道数 r 定义为一种结构参数。
• 使用 (S, T, t, k)-随机游走来采样高概率探索目标顶点集的时序路径。
• 应用 Mercator 级数以界定所需随机游走采样次数，确保对失败概率的对数依赖性。
• 采用基于阶段的方法在时间区间内构造时序路径，每个阶段通过随机采样确保覆盖性。
• 利用轨道的对称性降低探索复杂度，将对 n 的依赖替换为对 r 的依赖。
• 设计两种算法：一种具有高概率保证，另一种具有期望运行时间，两者均使用线性时间快照处理。

实验结果

研究问题

• RQ1 时序图中的图自同构能否用于实现比已知最坏情况界更快的时序探索？
• RQ2 在时序图中，两个具有不同程序且标签不一致的代理，其会合所需的最短时间是多少？
• RQ3 如何构造时序路径，以高概率且低运行时间访问给定自同构轨道中的所有顶点？
• RQ4 当以轨道数 r 为参数时，时序探索与会合的最紧可能上下界是什么？
• RQ5 能否利用自同构轨道的结构对称性，减少动态图算法中快照评估的次数？

主要发现

• 对于轨道数为 r 的连通时序图，其时序探索可在 O(rn^{1+ϵ}) 时间步内完成，其中任意固定的 ϵ > 0，优于 Θ(n²) 的最坏情况界。
• 当 r = O(n^c) 且 c < 1 时，探索时间显著快于一般情况的 Θ(n²) 上限。
• 针对 r = O(1) 的某些输入，建立了 Ω(n log n) 时间步的下界，表明仅靠对称性无法将该界进一步降低至此阈值以下。
• 即使顶点标签不一致，两个代理也能在 O(n^{1+ϵ}) 时间步内实现会合，其中任意固定的 ϵ > 0。
• 一种随机化算法可在 O((n^{5/3} + rn) log n) 时间步内，以至少 1−ϵ 的概率构造访问给定轨道中所有顶点的时序路径，且仅需 O(n^{1/3} log(n/ϵ)) 次线性时间快照评估。
• 另一种算法可实现 100% 的覆盖概率，且期望的线性时间快照评估次数为 O(n^{1/3})。