[论文解读] Exploiting c-Closure in Kernelization Algorithms for Graph Problems

Tomohiro Koana, Christian Komusiewicz+1 more|arXiv (Cornell University)|Jan 1, 2020

Complexity and Algorithms in Graphs被引用 8

一句话总结

本文提出了经典NP难图问题——支配集、诱导匹配和非冗余集——在输入图的c-闭包参数化下的核化算法。通过利用c-闭图中拉姆齐数的新多项式界，作者分别实现了大小为k^O(c)、O(c⁷k⁸)和O(c^{5/2}k³)的核，表明c-闭包是固定参数可满足性的一个强大结构参数。

ABSTRACT

A graph is c-closed if every pair of vertices with at least c common neighbors is adjacent. The c-closure of a graph G is the smallest number c such that G is c-closed. Fox et al. [SIAM J. Comput. '20] defined c-closure and investigated it in the context of clique enumeration. We show that c-closure can be applied in kernelization algorithms for several classic graph problems. We show that Dominating Set admits a kernel of size k^𝒪(c), that Induced Matching admits a kernel with 𝒪(c⁷ k⁸) vertices, and that Irredundant Set admits a kernel with 𝒪(c^{5/2} k³) vertices. Our kernelization exploits the fact that c-closed graphs have polynomially-bounded Ramsey numbers, as we show.

研究动机与目标

• 开发基于c-闭包作为结构参数的高效核化算法，用于经典图问题。
• 证明c-闭包使得图中拉姆齐数多项式有界，这是控制核大小的关键。
• 证明c-闭包作为固定参数可满足性的可行且有效参数，可超越传统度量（如退化性或树宽）而发挥作用。
• 建立c-闭包可替代或补充最大度∆等参数，从而在核化中实现新的可满足性结果。

提出的方法

• 证明c-闭图具有多项式有界的拉姆齐数，具体为当s,t ≥ 2时，R(s,t) ∈ O(c^{s/2} t)。
• 将此拉姆齐界作为核心结构工具，设计在保持解等价性的同时缩小实例的规约规则。
• 对顶点覆盖应用线性规划松弛技术，推导出诱导匹配问题的O(c⁷k⁸)顶点核。
• 设计并验证利用c-闭包性质的规约规则，例如移除具有相同闭邻域的单纯形顶点。
• 通过迭代应用规约规则并结合结构分析（如最大团和诱导匹配）来控制核的大小。
• 利用c-闭图中具有许多共同邻居的顶点极有可能相邻的性质，实现高效的数据显示规约。

实验结果

研究问题

• RQ1 c-闭包能否用于设计支配集和诱导匹配等基础图问题的多项式核？
• RQ2 当以c和k为参数时，这些问题可实现的最紧核大小是多少？
• RQ3 c-闭图的拉姆齐数与一般图有何不同？这种差异能否被算法性地利用？
• RQ4 c-闭包能否替代或改进核化中的传统参数（如最大度或退化性）？

主要发现

• 支配集可实现大小为k^O(c)的核，其c的指数部分在渐近意义下最优。
• 诱导匹配可实现包含O(c⁷k⁸)个顶点的核，该结果通过线性规划松弛和c-闭包性质获得。
• 非冗余集可实现包含O(c^{5/2}k³)个顶点的核，依赖于拉姆齐界和诱导匹配结构。
• c-闭包参数使c-闭图中的拉姆齐数多项式有界，具体为R(s,t) ∈ O(c^{s/2} t)，这是关键的理论贡献。
• 规约规则6.1——移除具有相同闭邻域的单纯形顶点——保持了解等价性，且对非冗余集核的构建至关重要。
• 结果表明，c-闭包是固定参数算法中一个可行且强大的辅助参数，尤其当∆或退化性较大时更具优势。