[论文解读] Exploring Lee-Yang and Fisher Zeros in the 2D Ising model through multipoint Padé approximants

Simran Singh, Massimo Cipressi+1 more|arXiv (Cornell University)|Dec 5, 2023

Theoretical and Computational Physics被引用 4

一句话总结

本文提出了一种多点帕德近似在有限体积蒙特卡洛模拟中数值提取二维伊辛模型中李-杨零点与费舍尔零点的新应用。通过分析多个磁化强度和逆温度点处配分函数的累积量，该方法在复平面上精确地定位了零点与极点，从而得到高精度的临界指数估计：$\beta\delta = 1.879(16)$ 和 $\nu = 1.014(60)$，且 $\beta_c = 0.4405(5)$，验证了该方法在相变研究中的鲁棒性。

ABSTRACT

We present a numerical calculation of the Lee-Yang and Fisher zeros of the 2D Ising model using multi-point Padé approximants. We perform simulations for the 2D Ising model with ferromagnetic couplings both in the absence and in the presence of a magnetic field using a cluster spin-flip algorithm. We show that it is possible to extract genuine signature of Lee Yang and Fisher zeros of the theory through the poles of magnetization and specific heat, using multi-point Padé method. We extract the poles of magnetization using Padé approximants and compare their scaling with known results. We verify the circle theorem associated to the well known behaviour of Lee Yang zeros. We present our finite volume scaling analysis of the zeros done at $T=T_c$ for a few lattice sizes, extracting to a good precision the (combination of) critical exponents $βδ$. The computation at the critical temperature is performed after the latter has been determined via the study of Fisher zeros, thus extracting both $β_c$ and the critical exponent $ν$. Results already exist for extracting the critical exponents for the Ising model in 2 and 3 dimensions making use of Fisher and Lee Yang zeros. In this work, multi-point Padé is shown to be competitive with this respect and thus a powerful tool to study phase transitions.

研究动机与目标

• 开发并验证一种基于多点帕德近似从有限体积系统中提取李-杨零点与费舍尔零点的方法。
• 检验多点帕德方法在蒙特卡洛模拟统计噪声存在下的鲁棒性。
• 从二维伊辛模型中有限尺寸标度的零点位置提取临界指数 $\beta\delta$、$\nu$ 和 $\beta_c$。
• 验证李-杨零点的圆定理，并通过费舍尔零点分析确认临界温度 $T_c$ 的自洽确定。
• 确立多点帕德方法作为传统有限尺寸标度在格点模型临界现象研究中的有力替代方法。

提出的方法

• 该方法使用多点帕德近似对多个外磁场 $H$ 和逆温度 $\beta$ 值处的配分函数主导累积量进行重求和。
• 磁化强度通过多点帕德近似表示为 $H$ 的有理函数，其极点用于在复 $H$ 平面上定位李-杨零点。
• 比热同样通过 $\beta$ 的有理函数近似，以在复 $\beta$ 平面上定位费舍尔零点。
• 对最近的李-杨零点与费舍尔零点的位置应用有限尺寸标度，以提取临界指数 $\beta\delta$、$\nu$ 和 $\beta_c$。
• 在正方形晶格上使用簇自旋翻转算法在 $T_c$ 处进行模拟，每组 $H$ 或 $\beta$ 的统计量高达 $\sim 650$K 配置，以确保精度。
• 通过 $\chi^2/dof$ 和置信区间进行误差分析，以评估临界指数标度定律拟合的可靠性。

实验结果

研究问题

• RQ1 多点帕德近似能否在存在统计噪声的有限体积蒙特卡洛数据中可靠地提取李-杨零点与费舍尔零点？
• RQ2 磁化强度与比热近似函数的极点是否能再现二维伊辛模型中李-杨零点的已知圆定理？
• RQ3 对最近的李-杨零点与费舍尔零点进行有限尺寸标度，能否获得 $\beta\delta$、$\nu$ 和 $\beta_c$ 的精确估计？
• RQ4 临界温度 $T_c$ 是否能通过费舍尔零点分析自洽地确定，且与已知值一致？
• RQ5 与传统有限尺寸标度相比，多点帕德方法在临界现象研究中的精度与鲁棒性如何？

主要发现

• 多点帕德方法成功地将真实的李-杨零点识别为磁化强度近似函数的极点，所有稳定极点均位于虚 $H$ 轴上，验证了圆定理。
• 最近李-杨零点虚部的有限尺寸标度得到 $\beta\delta = 1.879(16)$，与精确值 1.875 非常吻合。
• 费舍尔零点的有限尺寸标度得到 $\nu = 1.014(60)$ 和 $\beta_c = 0.4405(5)$，与精确结果一致，验证了通过费舍尔零点自洽确定 $T_c$ 的有效性。
• 该方法在统计噪声下表现出鲁棒性，即使在有限统计量下仍能获得高精度结果，表明其在更复杂系统（如QCD）中的适用性。
• 临界指数 $\beta\delta$ 的相对不确定度约为 $\sim 0.8\%$，表明有限尺寸标度分析具有极高精度。
• 结果证实，多点帕德方法是提取格点模拟中临界指数的有力且可靠的替代方法，与传统有限尺寸标度相比具有竞争力。