[论文解读] Exploring Non-Invertible Symmetries in Free Theories

Pierluigi Niro, Konstantinos Roumpedakis+1 more|arXiv (Cornell University)|Sep 22, 2022

Molecular spectroscopy and chirality被引用 9

一句话总结

本文通过在缺陷两侧定义规范不变算符之间的映射，构建了自由量子场论中一类codimension-one拓扑缺陷的显式Lagrangian描述——具体为4D Maxwell理论和2D紧致标量理论。研究表明，此类缺陷可实现非可逆对称性：在4D Maxwell理论中，混合F与⋆F的SO(2)旋转在耦合常数和θ角为有理数时，对威尔逊线和't Hooft线产生非可逆作用；在2D标量理论中，仅存在四种离散映射，包括类似T对偶的映射，其中T对偶缺陷为非可逆，并融合为U(1)缺陷的和。

ABSTRACT

Symmetries corresponding to local transformations of the fundamental fields that leave the action invariant give rise to (invertible) topological defects, which obey group-like fusion rules. One can construct more general (codimension-one) topological defects by specifying a map between gauge-invariant operators from one side of the defect and such operators on the other side. In this work, we apply such construction to Maxwell theory in four dimensions and to the free compact scalar theory in two dimensions. In the case of Maxwell theory, we show that a topological defect that mixes the field strength $F$ and its Hodge dual $\star F$ can be at most an $SO(2)$ rotation. For rational values of the bulk coupling and the $θ$-angle we find an explicit defect Lagrangian that realizes values of the $SO(2)$ angle $φ$ such that $\cos φ$ is also rational. We further determine the action of such defects on Wilson and 't Hooft lines and show that they are in general non-invertible. We repeat the analysis for the free compact scalar $ϕ$ in two dimensions. In this case we find only four discrete maps: the trivial one, a $Z_2$ map $dϕ ightarrow -dϕ$, a $\mathcal{T}$-duality-like map $dϕ ightarrow i \star dϕ$, and the product of the last two.

研究动机与目标

• 开发一种基于Lagrangian的构造性方法，用于识别和分析自由量子场论中的非可逆对称性。
• 确定在4D Maxwell和2D紧致标量理论等自由理论中，除标准可逆对称性外，哪些拓扑缺陷可被一致实现。
• 阐明缺陷对线算符（如威尔逊线和't Hooft线）产生非可逆作用的条件。
• 为耦合常数和θ角的有理数值提供显式缺陷Lagrangian，以实现对缺陷融合和作用的定量分析。

提出的方法

• 通过指定缺陷面上下两侧规范不变算符之间映射的缺陷Lagrangian，构造codimension-one拓扑缺陷。
• 在4D Maxwell理论中，定义通过SO(2)旋转混合场强F与其Hodge对偶⋆F的缺陷，且该缺陷Lagrangian在e⁴和θ/π为有理数时被显式实现。
• 在2D紧致标量理论中，对dϕ与⋆dϕ之间的所有允许缺陷映射进行分类，发现仅有四种离散可能性：平凡、ℤ₂、T对偶类似、及其乘积。
• 使用紧致标量场与整数值拉格朗日乘子的路径积分技术，推导缺陷融合规则并分析其非可逆性。
• 证明即使缺陷对局部场的作用是可逆的，其对线算符（威尔逊线和't Hooft线）的作用仍可为非可逆。
• 将缺陷Lagrangian应用于计算融合规则，表明T对偶缺陷的平方等于U(1)ₘ缺陷的和，从而确认其在N ≠ 1时的非可逆性。

实验结果

研究问题

• RQ1 在4D Maxwell和2D紧致标量理论等自由QFT中，使用Lagrangian方法可一致定义哪些拓扑缺陷？
• RQ2 在4D Maxwell理论中，F与⋆F混合的缺陷在何种条件下对威尔逊线和't Hooft线产生非可逆作用？
• RQ3 在2D紧致标量理论中，dϕ与⋆dϕ之间的允许缺陷映射有哪些？其中哪些实现非可逆对称性？
• RQ4 能否通过缺陷Lagrangian导出的显式融合规则，证明2D标量理论中T对偶类似缺陷的非可逆性？
• RQ5 缺陷Lagrangian构造如何在不依赖对偶性或高形式对称性规范化的情况下，实现非可逆对称性？

主要发现

• 在4D Maxwell理论中，对F与⋆F实施SO(2)旋转的缺陷是拓扑的，且在耦合常数和θ角为有理数时可通过缺陷Lagrangian实现，其中cosφ为有理数。
• 此类SO(2)缺陷对威尔逊线和't Hooft线的作用通常是不可逆的，尽管其对局部场的作用是可逆的。
• 在2D紧致标量理论中，仅存在四种离散缺陷映射：平凡、ℤ₂（dϕ → −dϕ）、T对偶类似（dϕ → i⋆dϕ）及其乘积。
• T对偶类似缺陷是非可逆的，且融合为U(1)ₘ缺陷的和，其融合规则通过缺陷Lagrangian与整数值场显式导出。
• 对于有理数N，T对偶缺陷满足𝒯 × 𝒯 = ∑_{η=0}^{N−1} e^{−2πiη/N ⋅ ∮⋆dϕ}，从而确认其非可逆性。
• 该构造表明，非可逆对称性可通过显式缺陷Lagrangian在自由理论中实现，即使不依赖对偶性或高形式对称性的规范化。