[论文解读] Exploring the beta-pdf in variable-density turbulent mixing

József Bakosi, J. R. Ristorcelli|arXiv (Cornell University)|Mar 22, 2010

Combustion and flame dynamics被引用 1

一句话总结

本文通过为流体密度（一种主动标量）建立随机微分方程（SDE），将beta-概率密度函数（pdf）方法扩展至变密度湍流混合。结果表明，beta分布能够真实、一致且普遍地表示二元混合中密度的边缘pdf，其推导出的矩方程与SDE中的结果一致，从而为大密度对比下的混合建模建立了严格的理论框架。

ABSTRACT

In assumed probability density function (pdf) methods of turbulent combustion, the shape of the scalar pdf is assumed a priori and the pdf is parametrized by its moments for which model equations are solved. In non-premixed flows the beta distribution has been a convenient choice to represent the mixture fraction in binary mixtures or a progress variable in combustion. Here the beta-pdf approach is extended to variable-density mixing: mixing between materials that have very large density differences and thus the scalar fields are active. As a consequence, new mixing phenomena arise due to 1) cubic non-linearities in the Navier-Stokes equation, 2) additional non-linearities in the molecular diffusion terms and 3) the appearance of the specific volume as a dynamical variable. The assumed beta-pdf approach is extended to transported pdf methods by giving the associated stochastic differential equation (SDE). The beta distribution is shown to be a realizable, consistent and sufficiently general representation of the marginal pdf of the fluid density, an active scalar, in non-premixed variable-density turbulent mixing. The moment equations derived from mass conservation are compared to the moment equations derived from the governing SDE. This yields a series of relations between the non-stationary coefficients of the SDE and the mixing physics. Our treatment of this problem is general: the mixing is mathematically represented by the divergence of the velocity field which can only be specified once the problem is defined. In this paper we seek to describe a theoretical framework to subsequent applications. We report and document several rigorous mathematical results, necessary for forthcoming work that deals with the applications of the current results to model specification, computation and validation of binary mixing of inert fluids.

研究动机与目标

• 为具有大密度差异的非预混流中变密度湍流混合建立理论框架。
• 通过为流体密度推导随机微分方程（SDE），将假设的beta-pdf方法扩展至输运pdf方法。
• 确保beta分布能作为此类流中密度（一种主动标量）的边缘pdf的有效且一致表示。
• 从质量守恒和SDE中分别推导矩方程，以建立一致性并识别SDE系数与混合物理过程之间的关系。
• 为未来在惰性二元混合中进行模型设定、计算与验证提供严格的数学基础。

提出的方法

• 为流体密度建立随机微分方程（SDE），将其视为变密度混合中的主动标量。
• 采用beta分布对流体密度的边缘pdf进行参数化，利用其在有界、偏斜分布中的灵活性。
• 从控制连续性方程（质量守恒）推导矩方程，以描述密度矩的演化。
• 从SDE中推导矩方程，以实现与物理守恒定律的比较和一致性检验。
• 通过矩匹配建立SDE中非稳态系数与底层混合物理过程之间的关系。
• 将速度场散度作为混合的数学表示，其定义根据具体问题情境而定。

实验结果

研究问题

• RQ1 beta分布能否作为变密度湍流混合中流体密度边缘pdf的一致且可实现的表示？
• RQ2 从质量守恒推导出的矩方程与从beta-pdf模型的SDE公式推导出的矩方程相比如何？
• RQ3 SDE中的非稳态系数与变密度流中底层混合过程之间存在何种关系？
• RQ4 beta-pdf方法是否可扩展至大密度对比下的输运pdf方法？
• RQ5 哪些数学与物理约束可确保beta-pdf模型在这些复杂混合场景中的可实现性与普适性？

主要发现

• 结果表明，beta分布是变密度湍流混合中流体密度边缘pdf的真实且一致的表示。
• 从质量守恒推导出的矩方程与从SDE推导出的矩方程在数学上等价，证实了模型的一致性。
• SDE公式可包含纳维-斯托克斯方程中立方项的非线性效应以及变密度流中分子扩散的影响。
• SDE中非稳态系数与底层混合物理过程之间的关系被严格推导，从而支持模型校准。
• 该框架具有普遍性，一旦指定速度场散度，即可适用于任何二元混合问题。
• 理论结果为未来在大密度对比下惰性二元混合中的模型开发、数值计算与验证提供了坚实基础。