[论文解读] Exploring the Use of Shatter for AllSAT Through Ramsey-Type Problems

David E. Narváez|arXiv (Cornell University)|Nov 17, 2017

Constraint Satisfaction and Optimization被引用 2

一句话总结

本文研究了在AllSAT问题背景下，特别是针对拉姆齐型图问题中的完全边着色集生成时，Shatter——一种用于CNF公式的对称性破缺工具——的使用。研究识别出两个关键问题：Shatter由于放松变量赋值，可能导致模型数量增加；当某些边未参与单色子图时，可能产生不完整的着色集合。本文提出了缓解这些问题的策略，确保在对称布尔公式中AllSAT工作流的完整性和效率。

ABSTRACT

In the context of SAT solvers, Shatter is a popular tool for symmetry breaking on CNF formulas. Nevertheless, little has been said about its use in the context of AllSAT problems: problems where we are interested in listing all the models of a Boolean formula. AllSAT has gained much popularity in recent years due to its many applications in domains like model checking, data mining, etc. One example of a particularly transparent application of AllSAT to other fields of computer science is computational Ramsey theory. In this paper we study the effect of incorporating Shatter to the workflow of using Boolean formulas to generate all possible edge colorings of a graph avoiding prescribed monochromatic subgraphs. Generating complete sets of colorings is an important building block in computational Ramsey theory. We identify two drawbacks in the na\"ive use of Shatter to break the symmetries of Boolean formulas encoding Ramsey-type problems for graphs: a "blow-up" in the number of models and the generation of incomplete sets of colorings. The issues presented in this work are not intended to discourage the use of Shatter as a preprocessing tool for AllSAT problems in combinatorial computing but to help researchers properly use this tool by avoiding these potential pitfalls. To this end, we provide strategies and additional tools to cope with the negative effects of using Shatter for AllSAT. While the specific application addressed in this paper is that of Ramsey-type problems, the analysis we carry out applies to many other areas in which highly-symmetrical Boolean formulas arise and we wish to find all of their models.

研究动机与目标

• 分析将Shatter作为对称性丰富的组合问题中AllSAT求解器的预处理工具的影响。
• 识别并解释两个关键缺陷：在将Shatter应用于拉姆齐型公式时，模型数量增加和着色集合不完整。
• 提供策略和工具，以在使用对称性破缺预处理时保持AllSAT输出的完整性和减少冗余。
• 证明Shatter的默认行为不适用于生成图拉姆齐问题中完整且无冗余的着色集合。
• 指导研究人员在高度对称的领域中正确应用对称性破缺工具（如Shatter）于AllSAT工作负载。

提出的方法

• 将Shatter应用于编码非箭头性质 F ↛ (G, H) 的CNF公式，其中F为图，G、H为目标子图。
• 分析Shatter的变量松弛（将自由变量固定为⊥）对AllSAT输出中模型数量和完整性的影响。
• 提出不完整性的一个充分条件：若边未参与从G或H到F的任何子图同构，则其在原公式中成为自由变量，导致着色丢失。
• 提出一种修改后的公式，仅将变量限制在与相关子图同构相关的边上，以提高完整性。
• 使用图Kex（K8中一个顶点度数降为2）作为反例，表明即使无自由变量，不完整性仍可能发生。
• 评估clasp的投影枚举功能在对称性存在时减少冗余模型的有效性。

实验结果

研究问题

• RQ1 Shatter的对称性破缺预处理如何影响AllSAT问题中的满足赋值数量？
• RQ2 在何种条件下，Shatter会导致拉姆齐型问题中着色集合不完整？
• RQ3 通过仅将变量集限制在参与单色子图同构的边上，是否可以避免不完整性问题？
• RQ4 为何即使原公式中无自由变量，不完整性仍会持续存在？
• RQ5 有哪些替代策略可在利用对称性破缺工具的同时保持完整性？

主要发现

• 由于Shatter将自由变量松弛为⊥，可能在AllSAT输出中导致模型数量增加，引入新的冗余解。
• 当边未参与从G或H到F的任何子图同构时，其在原公式中成为自由变量，Shatter将其固定为⊥，导致有效着色丢失。
• 识别出不完整性的充分条件：若边e未出现在任何从G或H到F的子图同构像中，则在Shatter预处理后，将e赋值为⊤的着色可能丢失。
• 即使无自由变量，不完整性仍可能发生——以Kex图为例，Shatter遗漏了90个同构类中的26个有效着色。
• clasp的投影枚举功能被证明有助于减少冗余模型，为模型爆炸问题提供部分缓解。
• 本文结论认为，Shatter在无仔细后处理的情况下不适用于AllSAT，而像BreakID这样的替代工具（提供非松弛对称性破缺）可能更为合适。