[论文解读] Explosive Crump-Mode-Jagers branching processes

Júlia Komjáthy|arXiv (Cornell University)|Feb 4, 2016

Stochastic processes and statistical mechanics参考文献 41被引用 8

一句话总结

本文在不存在马尔萨斯参数的情况下，建立了爆炸性 Crump-Mode-Jagers 分支过程（CMPs）的理论，聚焦于具有广义繁殖律的连续时间分支过程。它引入了比较技术，并证明爆炸性发生当且仅当以出生时间 $I$（传染期的开始）为依据的年龄依赖分支过程是爆炸性的，而结束时间 $C$ 的分布则无关紧要——为流行病型模型及具有奇异或非单调出生时间分布的病态情形提供了精确的爆炸性判据。

ABSTRACT

In this paper we initiate the theory of Crump-Mode-Jagers branching processes (BP) in the setting where no Malthusian parameter exist, i.e., the process grows faster than exponential. A Crump-Mode-Jagers BP is a branching process (in continuous time) where arbitrary dependencies are allowed between the birth-times of the children of a single individual in the population. It is however assumed that these reproduction processes are i.i.d. point processes for different individuals. This paper focuses on determining whether this branching process explodes, that is, the process reaches infinitely many individuals in finite time. We develop comparison techniques between reproduction processes. We study special cases in terms of explosivity such as age-dependent BPs, and epidemic models with contagious intervals. For this, we superimpose a random contagious interval $[I, C]$ on every individual in the BP and keep only the children with birth-times that fall in this interval of the parent. We show that the distribution of the end $C$ of the contagious interval does not matter in terms of explosion, while the distribution of $I$ does: the epidemic explodes if and only if the two age-dependent BPs with the original birth-times and birth-times $I$ explode. We finish studying some pathological examples such as birth-time distributions that are singular to the Lebesque-measure yet they produce an explosive BP with arbitrary power-law offspring distributions.

研究动机与目标

• 在不存在马尔萨斯参数（即处于爆炸性区域）的情况下，发展 Crump-Mode-Jagers 分支过程的理论。
• 确定具有任意繁殖点过程的一般 CMP 中爆炸性的必要与充分条件。
• 分析流行病型模型中传染期的作用，表明只有开始时间 $I$ 影响爆炸性。
• 构建并分析出生时间分布（奇异、非单调）的病态例子，这些例子仍能产生爆炸性过程。
• 将现有年龄依赖分支过程的结果扩展至无限均值后代和非指数增长的情形。

提出的方法

• 发展繁殖过程之间的比较技术，以分析一般 Crump-Mode-Jagers 分支过程中的爆炸性。
• 引入一个模型，其中每个个体具有随机传染期 $[I,C]$，仅保留在此期间内出生的后代，以模拟流行病传播。
• 使用逆分布函数 $F^{-1}(u)$ 和积分可积性 $\int_0^1 F^{-1}(e^{-1/y}) \frac{1}{y} dy$ 作为爆炸性的关键判据。
• 应用先前工作中提出的最小可和性条件，以尾部行为表征爆炸性。
• 分析奇异和非单调的出生时间分布，包括康托尔型和双指数测度，以检验判据的鲁棒性。
• 使用渐近估计和积分收敛性检验（例如 $\int_e^\infty (\log u)^{-1/\log \beta} \frac{1}{u} du$）来判断收敛或发散。

实验结果

研究问题

• RQ1 当不存在马尔萨斯参数时，Crump-Mode-Jagers 分支过程在何种条件下会发生爆炸？
• RQ2 传染期开始时间 $I$ 的分布如何影响流行病型分支过程的爆炸性？
• RQ3 传染期结束时间 $C$ 的分布是否会影响过程是否发生爆炸？
• RQ4 即使后代分布为幂律分布，奇异或非单调的出生时间分布是否仍能导致爆炸性分支过程？
• RQ5 在具有重尾出生时间分布的连续时间分支过程中，爆炸性与保守行为之间的边界是什么？

主要发现

• 流行病模型发生爆炸当且仅当以出生时间 $I$ 为依据的年龄依赖分支过程是爆炸性的，无论 $C$ 的分布如何。
• 对于厚尾幂律后代分布，当出生时间分布满足 $\int_e^\infty (\log u)^{-1/\log \beta} \frac{1}{u} du < \infty$ 时过程是爆炸性的，该条件在 $\beta < e$ 时成立，而当 $\beta \geq e$ 时为保守性。
• 康托尔分布满足 $F^{-1}_{\text{Cantor}}(u) \leq 3u^{\log 3 / \log 2}$，其对应的积分收敛，因此产生爆炸性过程。
• 离散例子 $F_\gamma(y) = \exp\{-\exp(1/y^\gamma)\}$ 的连续类比在 $\gamma < 1$ 时爆炸，$\gamma \geq 1$ 时保守，标志着临界边界。
• 即使出生时间密度为绝对连续且非单调，仍可能产生爆炸性过程，表明单调性并非爆炸性的必要条件。
• 本文构造了一个反例，推翻了Gulikers论文中的旧有充分条件，表明在零点附近任意非单调性并不排除爆炸性。