[论文解读] Exponential decay of eigenfunctions in a continuous multi-particle Anderson model with sub-exponentially decaying interaction

Victor Chulaevsky|arXiv (Cornell University)|Aug 20, 2014

Quantum chaos and dynamical systems参考文献 10被引用 5

一句话总结

本文在具有次指数衰减长程相互作用和合金型无序的连续多体安德森模型中，建立了本征函数的指数衰减。通过固定能量多尺度分析（MSA）和改进的本征值浓度界限，证明了在低能区 localized 本征函数呈指数衰减，改进了 Fauser 和 Warzel 的先前次指数衰减结果。

ABSTRACT

This short note is a complement to our recent paper [2] where we established strong dynamical localization for a class of multi-particle Anderson models in a Euclidean space with an alloy-type random potential and a sub-exponentially decaying interaction of infinite range. We show that the localized eigenfunctions at low energies actually decay exponentially fast. This improves the results by Fauser and Warzel who established sub-exponential decay of eigenfunctions in presence of a sub-exponentially decaying interaction.

研究动机与目标

• 在具有次指数衰减相互作用的连续多体安德森模型中，建立本征函数的指数衰减。
• 将强动力局域化结果扩展至包含指数衰减，改进了次指数衰减界限。
• 为具有无限程相互作用和合金型无序的一类多体系统，提供指数局域化的严格证明。
• 证明尽管相互作用势能衰减速度慢于指数（例如 $ e^{-r^ heta} $，其中 $ heta > 0 $ 很小），本征函数的衰减仍为指数型。

提出的方法

• 采用专为具有长程相互作用的连续多体系统设计的固定能量多尺度分析（MSA）框架。
• 利用基于谱投影唯一延拓原理（UCPSP）的改进本征值浓度（EVC）界限，该界限在散射体分布满足对数霍尔德连续性时适用。
• 通过将配置空间立方体分解为子立方体，分析局域化性质，利用条件概率和独立性结构。
• 通过粒子数和尺度的归纳法建立能量区间界限，利用威尓定律获得谱基数的多项式界。
• 采用递归尺度扩展程序，长度尺度 $ L_k $ 指数增长，确保衰减估计从小区到大尺度传播。
• 通过多项式与指数衰减项的结合，界定非谱局域化事件的概率，从而建立 $(E,m_N)$-S 条件（谱局域化）。

实验结果

研究问题

• RQ1 在具有次指数衰减长程相互作用的连续多体安德森模型中，能否建立本征函数的指数衰减？
• RQ2 当相互作用势能衰减速度慢于指数时，固定能量多尺度分析框架是否仍能实现指数局域化？
• RQ3 在随机势能的正则性假设更弱的条件下，本征值浓度界限能否推广至具有次指数相互作用的连续模型？
• RQ4 在通常需要完整覆盖条件的先前工作中，本征函数的指数衰减是否对缺少该条件仍具有鲁棒性？
• RQ5 当相互作用势能衰减为 $ e^{-r^ heta} $ 且 $ heta > 0 $ 任意小时，局域化行为如何变化？

主要发现

• 多体哈密顿量的本征函数在局域化区域中于无穷远处呈指数衰减，即使相互作用势能以次指数速度衰减（如 $ e^{-r^ heta} $，其中 $ heta > 0 $ 任意小）。
• 本文通过固定能量 MSA 与改进的 EVC 界，将 Fauser 和 Warzel 的次指数衰减结果改进为指数衰减。
• 所用本征值浓度界限依赖于谱投影的唯一延拓原理，其对散射体分布的假设（对数霍尔德连续性）弱于分数矩方法的要求。
• 非局域化事件的概率随尺度 $ L_k $ 的增长快于任意多项式，具体有界于 $ L_{k+1}^{-rac{3}{2}P(N,k+1)} $，确保 MSA 迭代收敛。
• 建立了谱局域化条件 $ (E,m_N) ext{-S} $，其中正 Lyapunov 指数 $ m_N > 0 $，证实了本征函数的指数衰减。
• 该方法适用于比以往工作更广泛的合金势类，包括不满足平坦铺砌或完整覆盖条件的系统，归因于 EVC 界的鲁棒性。