[论文解读] Exponential estimates for plurisubharmonic functions and stochastic dynamics

Tien‐Cuong Dinh, Viêt‐Anh Nguyên+1 more|ArXiv.org|Jan 13, 2008

Geometry and complex manifolds参考文献 29被引用 37

一句话总结

本文建立了关于具有霍尔德连续势的蒙日-安培测度的全纯函数的指数估计，从而证明了复射影空间中全纯动力系统平衡测度的强随机性质——相关性指数衰减、中心极限定理和大偏差定理。关键贡献在于通过全纯势论，建立了一个将复动力系统与概率极限定则相联系的一般性框架。

ABSTRACT

We prove exponential estimates for plurisubharmonic functions with respect to Monge-Ampere measures with Holder continuous potential. As an application, we obtain several stochastic properties for the equilibrium measures associated to holomorphic maps on projective spaces. More precisely, we prove the exponential decay of correlations, the central limit theorem for general d.s.h. observables, and the large deviations theorem for bounded d.s.h. observables and Holder continuous observables.

研究动机与目标

• 建立全纯函数关于具有霍尔德连续势的测度的指数可积性估计。
• 将这些估计应用于复射影空间上全纯映射的平衡测度。
• 证明在多个复变量的动力系统中，相关性指数衰减、中心极限定理和大偏差定理。
• 将随机极限律推广至一般d.s.h.和霍尔德连续可观测量的复动力系统。
• 提供一个将全纯势论与全纯动力系统中随机性质相联系的一般性框架。

提出的方法

• 证明：若 $ S $ 是局部适度的正闭当前，且 $ u $ 是关于 $ S $ 的霍尔德连续 $ S $-p.s.h. 函数，则 $ dd^c(uS) $ 局部适度。
• 利用 $ e^{-\alpha\psi} $ 关于蒙日-安培测度的指数可积性，推导动力系统的衰减估计。
• 应用贝内特不等式和链式方法，控制可观测量的Birkhoff和的尾部行为。
• 在迭代转移算子的矩条件之下，建立大偏差定理的一般抽象版本。
• 利用 $ \mathbb{P}^k $ 中格林当前 $ T $ 存在霍尔德连续势的事实，定义格林测度 $ \mu = T^k $，并分析其随机性质。
• 利用当前上的拉回作用 $ f^* $ 以及 $ d^{-n}(f^n)^*\omega_{\rm FS} \to T $ 的收敛性，构造不变测度并分析其混合行为。

实验结果

研究问题

• RQ1 在复动力系统中，能否针对具有霍尔德连续势的蒙日-安培测度，建立全纯函数的指数估计？
• RQ2 复射影空间 $ \mathbb{P}^k $ 上全纯映射的平衡测度是否对一般d.s.h.可观测量表现出相关性指数衰减？
• RQ3 在 $ \mathbb{P}^k $ 上全纯自同态的平衡测度下，d.s.h.可观测量的中心极限定理是否成立？
• RQ4 能否在复动力系统中，对有界d.s.h.和霍尔德连续可观测量证明大偏差定理？
• RQ5 当前和测度的局部适度性在建立复动力系统中随机极限律方面起什么作用？

主要发现

• 本文证明：若 $ u $ 是霍尔德连续的p.s.h.函数，则蒙日-安培当前 $ (dd^c u)^p $ 局部适度，从而保证指数函数的可积性。
• 对于 $ \mathbb{P}^k $ 上的全纯映射，格林测度 $ \mu = T^k $ 对d.s.h.可观测量满足相关性指数衰减。
• 在给定的动力学假设下，所有d.s.h.可观测量关于平衡测度 $ \mu $ 均满足中心极限定理。
• 对有界d.s.h.和霍尔德连续可观测量，已建立大偏差定理，其速率阶为 $ e^{-n(\log n)^{-2}h_\epsilon} $。
• 结果可推广至一维情形，即使在此情况下亦为新结果，且提供了强于先前已知的衰减率。
• 在转移算子伴随算子的矩条件之下，证明了大偏差定理的一个抽象版本，推广了动力系统设定。