[论文解读] Exponential functionals of spectrally one-sided l{\\'e}vy processes conditioned to stay positive

Grégoire Véchambre, Vechambre, Grégoire|arXiv (Cornell University)|Jul 10, 2015

Stochastic processes and statistical mechanics参考文献 28被引用 5

一句话总结

本文研究了在条件为正的单边谱 Lévy 过程下，指数功能性 $\int_0^{\infty} e^{-X^{\uparrow}(t)}dt$ 的性质，建立了其有限性、自分解性、指数矩的存在性以及在零附近的密度的精确渐近行为。主要贡献在于通过正则变体与广义伽马分布变量的联系，对分布的左尾进行了精确刻画。

ABSTRACT

We study the properties of the exponential functional $\\int\\_0^{+ \\infty} e^{- X^{\\uparrow} (t)}dt$ where $X^{\\uparrow}$ is a spectrally one-sided L{\\'e}vy process conditioned to stay positive. In particular, we study finiteness, self-decomposability, existence of finite exponential moments, asymptotic tail at $0$ and smoothness of the density.

研究动机与目标

• 研究条件为正的单边谱 Lévy 过程的指数功能性 $I(V^{\uparrow}) = \int_0^{\infty} e^{-V^{\uparrow}(t)}dt$ 的分布性质。
• 建立指数矩有限性的条件以及 $I(V^{\uparrow})$ 拥有光滑密度的条件。
• 推导 $I(V^{\uparrow})$ 密度在零附近的精确渐近行为，特别是其正则变体性质。
• 通过分解恒等式将 $I(V^{\uparrow})$ 的左尾与 $I(H)^{-\alpha}$ 的分布及广义伽马变量联系起来。
• 将已知的 Lévy 过程指数功能性结果推广至条件化情形，尤其适用于 Lévy 环境中的扩散过程。

提出的方法

• 利用 $I(V^{\uparrow})$ 的自分解性，对分布的左尾行为进行精确估计。
• 应用 [16] 中的分解恒等式，将 $I(Y)$ 的密度与 $I(H)$ 的密度联系起来，其中 $Y$ 为单边正的，$H$ 为单边负的。
• 使用 Mellin 变换与广义 Weierstrass 乘积表示法，分析矩与尾部行为。
• 运用正则变体理论与单调收敛定理，推导当 $x \to 0^+$ 时密度 $m_Y(x)$ 的渐近极限。
• 应用 Laplace 指数 $\Psi_V(\lambda)$ 与三元组 $(Q, \gamma, \nu)$ 来刻画底层 Lévy 过程 $V$。
• 依赖 [16] 中推论 2.1(2)，将密度 $m_Y(x)$ 表示为 $m_H(y)$ 的形式，从而实现尾部分析。

实验结果

研究问题

• RQ1 在何种条件下，对于条件为正的单边谱 Lévy 过程，指数功能性 $I(V^{\uparrow}) = \int_0^{\infty} e^{-V^{\uparrow}(t)}dt$ 几乎必然有限？
• RQ2 在零附近的密度的精确渐近行为是什么？其与 $I(H)^{-\alpha}$ 的分布有何关系？
• RQ3 如何保证 $I(V^{\uparrow})$ 的指数矩存在？其有限性的条件是什么？
• RQ4 能否通过正则变体刻画 $I(V^{\uparrow})$ 的左尾？其与广义伽马分布有何关联？
• RQ5 分解恒等式在连接 $I(Y)$ 与 $I(H)$ 中起什么作用？它如何促成尾部渐近行为的推导？

主要发现

• 指数功能性 $I(V^{\uparrow})$ 是自分解的，这使得对其左尾行为具有精确控制。
• $I(Y)$ 的密度 $m_Y(x)$ 满足 $\lim_{x \to 0^+} \frac{m_Y(x)}{\overline{\pi}(\log(1/x))} = \frac{\mathbb{E}[I(H)^{-\alpha}] \Gamma(\alpha + \kappa_Y)}{\Gamma(\kappa_Y)}$，其中 $\overline{\pi}$ 是 $H$ 的 Lévy 测度的尾部。
• 当 $\mathbb{E}[I(H)^{-\alpha}] < \infty$ 且 $\kappa_Y > 0$ 时，$I(V^{\uparrow})$ 的指数矩存在。
• $I(V^{\uparrow})$ 的左尾表现出 $-\alpha$-正则变体，其极限涉及 Gamma 函数的比值与 $I(H)$ 的负分数阶矩。
• 结果确认了 $\mathbb{E}[I(Y)^{-\alpha}] < \infty$，这与 [6] 中关于单边正过程的定理 3 一致。
• 渐近等价性通过单调收敛定理与含 $\epsilon$ 的扰动边界推导得出，最终得到 $\epsilon \to 0$ 时的精确极限。