[论文解读] EXPONENTIAL INTEGRABILITY IN THE SPIRIT OF MOSER-TRUDINGER'S INEQUALITIES OF FUNCTIONS WITH FINITE NON-LOCAL, NON-CONVEX ENERGY

Arka Mallick, Hoài-Minh Nguyên|arXiv (Cornell University)|Jan 1, 2019

Nonlinear Partial Differential Equations参考文献 34被引用 1

一句话总结

本文建立了具有有限非局部、非凸能量的函数的指数可积性估计，该能量通过涉及差值 |u(x)−u(y)|>δ 的双重积分定义，将莫泽-特鲁迪nger型不等式推广至非局部设置。对于 p ≥ d，此类函数在 L^p 空间中满足指数可积性的精确估计，其界依赖于非局部能量 Iδ,p，并构造了极值函数以证明指数部分的精确性。

ABSTRACT

Let $d \ge 1$, $p \ge d$, and let $Ω$ be a smooth bounded open subset of $\mathbb{R}^d$. We prove some exponential integrability in the spirit of Moser-Trudinger's inequalities for measurable functions $u$ defined in $Ω$ such that $$ \mathop{\int_Ω \int_Ω}_{|u(x) - u(y)| > δ} \frac{1}{|x-y|^{d+p}} \, dx \, dy < + \infty, $$ for some $δ> 0$. This double integral appeared in characterizations of Sobolev spaces and involved in improvements of the Sobolev inequaliies, Poincaré inequalities, and Hardy inequalities.

研究动机与目标

• 建立 L^p(Ω) 中具有有限非局部能量 Iδ,p(u, Ω) 的函数的精确指数可积性估计，将经典的莫泽-特鲁迪nger不等式推广至非局部、非凸设置。
• 研究具有有限非局部能量 Iδ,p(u, Ω) 的函数是否表现出优于约翰-尼伦伯格不等式所暗示的 BMO 类控制的可积性。
• 确定此类函数在指数可积性中的精确指数，特别是当 p ≥ d 时。
• 构造极值函数以证明非局部设置下指数可积性结果的精确性。

提出的方法

• 定义非局部能量 Iδ,p(u, Ω) = ∫∫_{|u(x)−u(y)|>δ} δ^p / |x−y|^{d+p} dx dy，该能量通过 Γ-收敛刻画了索伯列夫空间和 BV 空间。
• 利用 Poincaré 型不等式 (1.7) 和 Fefferman-Stein 极大函数理论控制振荡并推导出 L^p 估计。
• 应用截断法与约翰-尼伦伯格不等式控制 BMO 范数，进而通过约翰-尼伦伯格结果导出指数可积性。
• 通过构造径向测试函数 u(x) = g(|x|)，其中 g(r) = (ln λ)^{-1} ln ln(1/r)，证明 ∫_B e^{αγg} dx = ∞，从而证明指数部分的精确性。
• 使用极坐标和渐近分析估计 Iδ,p(u, B)，并证明即使 Iδ,p 可以任意小，指数积分仍可为无穷大。
• 通过构造一列函数 un，使得 I1,d(un, B1/e) → 0 但 ∫ e^{αγgn} dx → ∞，证明指数部分的精确性。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否为具有有限非局部能量 Iδ,p(u, Ω) 的函数建立指数可积性，即使梯度不属于 L^p 空间？
• RQ2 在 Iδ,p(u, Ω) < ∞ 的条件下，指数权重 e^{α|u|} 中的精确指数 α 是什么，使得 ∫_Ω e^{α|u|} dx 保持有限？
• RQ3 指数可积性结果是否精确？能否构造出 Iδ,p 极小但指数积分无穷大的函数？
• RQ4 非局部能量 Iδ,p 如何控制 BMO 范数，从而通过约翰-尼伦伯格不等式实现指数可积性？

主要发现

• 对于 p ≥ d 且 u ∈ L^p(Ω) 满足 Iδ,p(u, Ω) < ∞，函数 u 满足指数可积性：存在 α > 0 使得 ∫_B e^{α(p/d)|u|} dx ≤ C，其中 C 仅依赖于 d 和 Ω。
• 指数权重中的指数 α(p/d) 是精确的：对任意 α > 0，存在 u ∈ L^p(Ω) 满足 Iδ,p(u, Ω) < ∞，但 ∫_B e^{α|u|} dx = ∞。
• 通过径向函数 g(r) = (ln λ)^{-1} ln ln(1/r) 构造极值函数，证明当 γ > p/d 时，有 ∫_B e^{αγg} dx = ∞，从而证明指数部分的精确性。
• 对任意 M > 0，存在函数 u 满足 Iδ,p(u, B1/e) ≤ M 但 ∫_B e^{αγg} dx = ∞，表明非局部能量无法统一控制指数积分。
• 通过构造一列 un 满足 I1,d(un, B1/e) → 0 但 ∫ e^{αγgn} dx → ∞，确认了指数部分的精确性，表明该界无法改进。
• 该结果将经典的莫泽-特鲁迪nger不等式推广至非局部、非凸能量，提供了新的精确指数可积性估计类。