[论文解读] Exponential mixing and shrinking targets for geodesic flow on geometrically finite hyperbolic manifolds

Dubi Kelmer, Hee Oh|arXiv (Cornell University)|Dec 13, 2018

Mathematical Dynamics and Fractals被引用 4

一句话总结

本文通过在单位切丛上利用测地流的指数混合性，建立了几何有限双曲流形上测地流的一般收缩目标定理。研究证明了关于隧道、闭测地线及度量球的收缩邻域中首次 hitting 时间的对数律与定量估计，将 Sullivan 的对数律推广至更强的定量控制下。

ABSTRACT

Let $\mathcal{M}=\Gamma\backslash \mathbb{H}^n$ be a geometrically finite hyperbolic manifold, which is either convex cocompact or of critical exponent $\delta$ strictly bigger than $\max\{ frac{n-1}{2},n-2\}$. We present a very general theorem on the shrinking target problem for geodesic flow, using the exponential mixing for all bounded smooth functions on the unit tangent bundle $\mathrm{T}^1(\mathcal{M})$. This includes a strengthening of Sullivan's logarithm law for the excursion rate of the geodesic flow. More generally, we prove logarithm laws for the first hitting time for shrinking cusp neighborhoods, shrinking tubular neighborhoods of closed geodesics, and shrinking metric balls, as well as give quantitative estimates for the time a generic geodesic spends in such shrinking sets.

研究动机与目标

• 将 Sullivan 在几何有限双曲流形上对测地流的对数律推广至更一般的收缩目标集合。
• 为测地线进入隧道、闭测地线及度量球的收缩邻域的首次 hitting 时间建立定量估计。
• 利用单位切丛上测地流的指数混合性，推导收缩目标问题的统一且有效结果。
• 统一并推广现有关于双曲动力系统中逃逸率与 hitting 时间的研究成果。

提出的方法

• 对所有有界光滑函数，利用测地流在单位切丛 $\mathrm{T}^1(\mathcal{M})$ 上的指数混合性。
• 将收缩目标框架应用于包括隧道邻域、闭测地线的管状邻域及度量球在内的集合。
• 利用指数混合性带来的谱间隙与相关性衰减，推导 hitting 时间的统一定量界。
• 通过分析目标大小以对数方式缩小下 hitting 时间的渐近行为，推导对数律。
• 使用临界指数 $\delta > \max\{\frac{n-1}{2}, n-2\}$ 以确保充分的混合性并控制动力系统行为。
• 应用遍历理论技术，将混合速率与收缩集合中 hitting 时间统计关联起来。

实验结果

研究问题

• RQ1 测地线进入收缩隧道邻域的首次 hitting 时间在渐近下如何表现？
• RQ2 测地流的对数律能否超越经典情形，推广至包含闭测地线管状邻域的情况？
• RQ3 在几何有限双曲流形上，对一般测地线在收缩度量球中停留时间可获得何种定量估计？
• RQ4 测地流的指数混合性在多大程度上能实现收缩目标问题中统一且有效的界？
• RQ5 临界指数 $\delta$ 在此设定下如何影响对数律的有效性与强度？

主要发现

• 本文在临界指数满足弱假设下，为几何有限双曲流形上的测地流建立了普遍的收缩目标定理。
• 证明了 Sullivan 对数律的强化版本，为测地线进入收缩隧道邻域的速率提供了定量估计。
• 对数律被推广至闭测地线的收缩管状邻域，表明首次 hitting 时间随邻域大小以对数方式增长。
• 为一般测地线在收缩度量球中停留时间导出了定量界，其衰减速率由流的指数混合性控制。
• 结果对所有有界光滑可观测量一致成立，并适用于满足 $\delta > \max\{\frac{n-1}{2}, n-2\}$ 的所有几何有限流形。
• 该框架统一并推广了先前关于逃逸率与 hitting 时间的研究成果，为该动力系统设定下的收缩目标问题提供了连贯的理论。