[论文解读] Exponential mixing for a class of dissipative PDEs with bounded degenerate noise

Sergei Kuksin, Vahagn Nersesyan+1 more|arXiv (Cornell University)|Feb 9, 2018

Stochastic processes and financial applications参考文献 64被引用 43

一句话总结

本论文证明一类离散时间马尔可夫过程在紧凑相空间上的唯一平稳测度与指数混合性，包括受限界噪声作用于若干傅里叶模态的非线性耗散型PDE，具可控的线性化与可分解的噪声结构。

ABSTRACT

We study a class of discrete-time random dynamical systems with compact phase space. Assuming that the deterministic counterpart of the system in question possesses a dissipation property, its linearisation is approximately controllable, and the driving noise is bounded and has a decomposable structure, we prove that the corresponding family of Markov processes has a unique stationary measure, which is exponentially mixing in the dual-Lipschitz metric. The abstract result is applicable to nonlinear dissipative PDEs perturbed by a bounded random force which affects only a few Fourier modes. We assume that the nonlinear PDE in question is well posed, its nonlinearity is non-degenerate in the sense of the control theory, and the random force is a regular and bounded function of time which satisfies some decomposability and observability hypotheses. This class of forces includes random Haar series, where the coefficients for high Haar modes decay sufficiently fast. In particular, the result applies to the 2D Navier-Stokes system and the nonlinear complex Ginzburg-Landau equations. The proof of the abstract theorem uses the coupling method, enhanced by the Newton-Kantorovich-Kolmogorov fast convergence.

研究动机与目标

• 激发并研究带有有界退化噪声的离散化随机动力系统的唯一性与指数混合性。
• 建立一个抽象框架，将线性化动力学的可控性与马尔可夫链的遍历性性质联系起来。
• 将抽象结果应用于如二维Navier–Stokes方程和非线性复Ginzburg–Landau方程在 Haar-type 噪声干扰下的情形。

提出的方法

• 提出一个四假设框架（正则性/光滑性、耗散性、线性化的近似可控性，以及噪声的可分解性）。
• 在紧凑相空间的马尔可夫离散时间设定下，通过 Newton–Kantorovich–Kolmogorov 快速收敛方案实现收缩/Doeblin 型耦合。
• 在无限维中构造可测耦合，以在 dual-Lipschitz 度量下实现指数收敛。
• 利用受同调类比启发的办法，近似反转线性化噪声映射，以在有界噪声下实现耦合。

实验结果

研究问题

• RQ1 在非线性PDE及有界、可分解噪声的哪些条件下，离散时间马尔可夫过程存在唯一的平稳测度？
• RQ2 对于对所有决定模态并未作用的退化、有界噪声的系统，是否可以在 dual-Lipschitz 度量下获得指数混合？
• RQ3 线性化的近似可控性和噪声的可分解性如何有助于在无限维中构造有效的耦合？
• RQ4 抽象结果可应用于哪些PDE（如 Navier–Stokes、复杂Ginzburg–Landau 等），以及哪些观测量或噪声结构能确保混合？
• RQ5 Haar-type 噪声和可观测性假设在建立所需的非退化性中起什么作用？

主要发现

• 对于足够大的 N 和正黏度 ν，存在马尔可夫过程的唯一平稳测度，并在 dual-Lipschitz 度量下指数收敛。
• 该结果适用于被有界随机力扰动且仅影响有限或可分解傅里叶模态集合的非线性耗散性PDE，包括二维 Navier–Stokes 与复Ginzburg–Landau 方程。
• 在正则性、耗散性、线性化近似可控性，以及带有 Lipschitz 密度的可分解噪声假设下建立混合性。
• 强制项可表示为 Haar 级数，系数衰减足够快，因而实现可观测且可分解的噪声。
• 耦合方法得到 Newton–Kantorovich–Kolmogorov 快速收敛方案的支持，避免对有界噪声使用 Malliavin 微积分的要求。
• 若初始分布为平稳分布，解在统计上随时间呈周期性，并且对于任意初始数据，收敛到平稳状态的速率随时间呈指数性。