[论文解读] Exponential mixing under controllability conditions for SDEs driven by a degenerate Poisson noise

Vahagn Nersesyan, Renaud Raquépas|arXiv (Cornell University)|Mar 19, 2019

Stochastic processes and financial applications参考文献 29被引用 2

一句话总结

本文在温和的耗散性和可控制性条件下，建立了由退化复合泊松噪声驱动的随机微分方程（SDEs）的指数混合性及不变测度的唯一性。通过引入一种新型的、弱于霍尔曼条件的坚实可控制性条件，作者证明了半群在总变差范数下的指数收敛性，将结果扩展至非高斯、退化噪声的无穷维系统与网络化系统。

ABSTRACT

We prove existence and uniqueness of the invariant measure and exponential mixing in the total-variation norm for a class of stochastic differential equations driven by degenerate compound Poisson processes. In addition to mild assumptions on the distribution of the jumps for the driving process, the hypotheses for our main result are that the corresponding control system is dissipative, approximately controllable and solidly controllable. The solid controllability assumption is weaker than the well-known parabolic H\"ormander condition and is only required from a single point to which the system is approximately controllable. Our analysis applies to Galerkin projections of stochastically forced parabolic partial differential equations with asymptotically polynomial nonlinearities and to networks of quasi-harmonic oscillators connected to different Poissonian baths.

研究动机与目标

• 建立由退化复合泊松噪声驱动的SDE的指数混合性及不变测度的唯一性。
• 通过引入仅从单一点适用的新坚实可控制性假设，弱化标准的霍尔曼条件。
• 将遍历性结果扩展至非高斯噪声与满秩扩散之外，涵盖非马尔可夫性、跳跃驱动的系统。
• 将该框架应用于随机强迫抛物型PDE的伽辽金逼近以及准谐振子网络。
• 提供一种基于耦合的证明策略，适用于非紧致状态空间，利用耗散性与可控制性。

提出的方法

• 基于最大耦合与首次通过时间估计的耦合方法，以有界总变差距离。
• 引入坚实可控制性的概念：一组紧致控制集在扰动下能保证其像包含一个非退化球体。
• 应用附录A中的首次通过时间指数估计，以控制混合速率。
• 在耗散性条件（C1）下，利用候选李雅普诺夫函数∥x∥²确保路径稳定性。
• 利用马尔可夫半群（P∗t）及其在概率测度上的作用，证明收敛至不变测度。
• 运用测度论工具（引理C.2）以确保在正则映射下，像测度具有正密度。

实验结果

研究问题

• RQ1 当霍尔曼条件在全局不成立时，是否可为具有退化泊松噪声的SDE建立指数混合性？
• RQ2 在缺乏满秩扩散的情况下，何种更弱的可控制性条件可确保指数混合性？
• RQ3 耗散性与从单一点出发的局部可控制性如何共同导致全局遍历性？
• RQ4 该耦合方法是否可适配于非高斯、跳跃驱动的SDE在非紧致空间上的情形？
• RQ5 该框架对具有泊松热库的随机PDE与振子网络有何影响？

主要发现

• 在条件（C1）–（C3）下，SDE在Rd上博雷尔概率测度空间中存在唯一的不变测度µinv。
• 半群（P∗t）以指数速度收敛至µinv，总变差范数满足：∥P∗tµ − µinv∥var ≤ C e−ct (1 + ∫∥x∥µ(dx)) 对所有t ≥ 0成立。
• 坚实可控制性条件（C3）严格弱于抛物型霍尔曼条件，且仅需从单一点ˆx成立。
• 即使rank(B) < d（即存在退化跳跃噪声），在跳跃分布的矩与密度满足温和假设时，结论依然成立。
• 该框架适用于具有渐近多项式非线性的随机强迫抛物型PDE的伽辽金逼近。
• 该方法可推广至与独立泊松热库耦合的准谐振子网络，证明此类系统中存在指数混合性。