[论文解读] Exponential moments for numerical approximations of stochastic partial differential equations

Arnulf Jentzen, Primož Pušnik|arXiv (Cornell University)|Sep 22, 2016

Stochastic processes and financial applications参考文献 42被引用 14

一句话总结

本文提出了一类针对具有非全局单调非线性的随机偏微分方程（SPDEs）的新型受控时空噪声离散指数欧拉格式。该研究首次建立了无限维SPDEs中时间离散数值格式的指数可积性界，证明了在一般噪声条件下，随机伯吉斯方程、库拉莫夫-西瓦辛斯基方程以及二维纳维-斯托克斯方程具有有限的指数矩。

ABSTRACT

Stochastic partial differential equations (SPDEs) have become a crucial ingredient in a number of models from economics and the natural sciences. Many SPDEs that appear in such applications include non-globally monotone nonlinearities. Solutions of SPDEs with non-globally monotone nonlinearities are in nearly all cases not known explicitly. Such SPDEs can thus only be solved approximatively and it is an important research problem to construct and analyze discrete numerical approximation schemes which converge with positive strong convergence rates to the solutions of such infinite dimensional SPDEs. In the case of finite dimensional stochastic ordinary differential equations (SODEs) with non-globally monotone nonlinearities it has recently been revealed that exponential integrability properties of the discrete numerical approximation scheme are a key instrument to establish positive strong convergence rates for the considered approximation scheme. To the best of our knowledge, there exists no result in the scientific literature which proves exponential integrability properties for a time discrete approximation scheme in the case of an infinite dimensional SPDE. In this paper we propose a new class of tamed space-time-noise discrete exponential Euler approximation schemes that admit exponential integrability properties in the case of infinite dimensional SPDEs. In particular, we establish exponential moment bounds for the proposed approximation schemes in the case of stochastic Burgers equations, stochastic Kuramoto-Sivashinsky equations, and two-dimensional stochastic Navier-Stokes equations.

研究动机与目标

• 解决在具有非全局单调非线性的无限维SPDEs中，时间离散格式缺乏强收敛速率结果的问题。
• 通过建立此类SPDEs数值近似解的指数可积性性质，弥合文献中的空白。
• 提出并分析一类新型受控时空噪声离散指数欧拉格式，以确保指数矩界。
• 将此前仅用于有限维SDEs的指数可积性技术扩展至无限维SPDEs。
• 为关键SPDEs（包括带乘性噪声的随机伯吉斯方程、库拉莫夫-西瓦辛斯基方程及二维纳维-斯托克斯方程）提供严格的矩界。

提出的方法

• 提出一种受控时空噪声离散指数欧拉格式，通过正则化非线性漂移项以防止解的爆破。
• 引入一种基于投影解范数与噪声增量范数的新型停止机制，以确保指数矩估计中的有界性。
• 运用条件期望的分解引理，将指数矩分解为可处理的一步估计。
• 通过伊tô公式与Gronwall型论证，在递归框架下推导一步指数矩界。
• 采用一种受控格式，其截断函数依赖于解的范数与噪声增量的范数，以控制增长。
• 利用谱投影算子与希尔伯特-施密特噪声结构，处理无限维情形，并确保矩估计中的收敛性。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否在具有非全局单调非线性的无限维SPDEs中，为时间离散数值格式建立指数可积性？
• RQ2 受控时空噪声离散欧拉格式是否对诸如随机伯吉斯方程与纳维-斯托克斯方程等SPDEs具有有限的指数矩？
• RQ3 能否为数值近似建立与时间与空间离散化参数无关的统一指数矩界？
• RQ4 所提出的格式是否能通过利用非全局单调漂移下的指数可积性，确保强收敛速率？
• RQ5 在带乘性噪声的SPDEs中，允许获得指数矩界的噪声与非线性项的精确条件是什么？

主要发现

• 所提出的受控时空噪声离散指数欧拉格式在随机伯吉斯方程中实现了有限的指数矩，如推论4.11所示。
• 对所有 ε ∈ [1, ∞)，有 sup_{N,M∈ℕ} sup_{t∈[0,T]} E[exp(ε∥Y^{N,M}_t∥²_H / e^{2ε trace_H(Q)t})] < ∞，证明了统一的指数可积性。
• 已为随机库拉莫夫-西瓦辛斯基方程建立指数矩界，如推论4.13所述。
• 在所提格式下，带乘性噪声的二维随机纳维-斯托克斯方程也具有有限的指数矩，如推论4.15所确认。
• 分析表明，当与受控机制结合时，纳维-斯托克斯方程中非全局单调非线性项不会阻碍指数可积性。
• 本文首次为无限维SPDEs中的时间离散格式提供了指数可积性的严格证明，为未来强收敛速率分析奠定了基础。