[论文解读] Exponential rate of L_p-convergence of intrinsic martingales in supercritical branching random walks

Gerold Alsmeyer, Alexander Iksanov+2 more|ArXiv.org|Mar 23, 2009

Stochastic processes and statistical mechanics被引用 5

一句话总结

本文建立了超临界分支布朗运动中内在鞅 $W_n$ 及其几乎必然极限 $W$ 的级数 $\sum_{n \geq 0} e^{an}(W - W_n)$ 的 $L_p$-收敛性的必要与充分条件。关键结果通过个体分布的矩条件和生成函数 $m(r)$ 的谱半径，刻画了 $L_p$-收敛的指数速率，且条件的精确性取决于 $p$ 和参数 $a > 0$。分析依赖于鞅不等式、矩估计，以及通过 Burkholder 类型论证得到的 $L_p$-范数的凸性。

ABSTRACT

Let $W_n, n\in\mn_{0}$ be an intrinsic martingale with almost sure limit $W$ in a supercritical branching random walk. We provide criteria for the $L_p$-convergence of the series $\sum_{n\ge 0} e^{an}(W-W_n)$ for $p>1$ and $a>0$. The result may be viewed as a statement about the exponential rate of convergence of $\me |W-W_n|^p$ to zero.

研究动机与目标

• 确定超临界分支布朗运动中内在鞅 $W_n$ 到其极限 $W$ 的 $L_p$-收敛的指数速率。
• 为 $p > 1$ 和 $a > 0$ 的级数 $\sum_{n \geq 0} e^{an}(W - W_n)$ 的几乎必然收敛与 $L_p$-收敛，推导出必要与充分条件。
• 根据个体分布的矩生成函数 $m(r)$，刻画 $\mathbb{E}|W - W_n|^p$ 的衰减速率。
• 建立涉及谱半径 $m^{1/r}(r)$ 与初始权重分布的 $p$-阶矩的精确收敛准则。

提出的方法

• 使用内在鞅 $W_n = Z_n / m^n(1)$，其中 $Z_n$ 为加权分支过程中第 $n$ 代的总权重。
• 应用 Burkholder 不等式与矩估计，通过条件方差与 $L_2$-范数控制 $\mathbb{E}|W_{n+1} - W_n|^p$。
• 将增量 $W_{n+1} - W_n$ 分解为第 $n$ 代中个体的和，权重为 $L_v^2(W_1(v) - 1)^2$。
• 利用 $p \geq 2$ 时 $x \mapsto x^{p/2}$ 的凸性与超可加性，推导 $\mathbb{E}|W_{n+1} - W_n|^p$ 的下界。
• 应用引理 1.1 与引理 3.5，将 $\mathbb{E}(Z_n^{(2)})^{p/2}$ 以 $m^n(p)$ 与 $m^n(2)$ 表示，取决于 $m(p)$ 与 $m^{p/2}(2)$ 的相对大小。
• 在 $L_{p/2}$ 中应用 Minkowski 不等式，控制级数 $\widehat{A}$ 的 $L_p$-范数，将问题简化为 $e^{pan} \mathbb{E}|W_{n+1} - W_n|^p$ 的可求和性。

实验结果

研究问题

• RQ1 当 $p > 1$ 且 $a > 0$ 时，级数 $\sum_{n \geq 0} e^{an}(W - W_n)$ 在 $L_p$ 中收敛的条件是什么？
• RQ2 在超临界分支布朗运动中，$\mathbb{E}|W - W_n|^p$ 以何种精确的指数速率衰减至零？
• RQ3 初始权重分布的 $p$-阶矩与函数 $m(r)$ 如何影响鞅增量的收敛行为？
• RQ4 当 $p > 2$ 时，条件 $e^a m^{1/p}(p) < 1$ 是否为 $L_p$-收敛的必要与充分条件？
• RQ5 $m(p)$ 与 $m^{p/2}(2)$ 的相对大小在确定收敛准则中起什么作用？

主要发现

• 当 $p > 2$ 时，级数 $\sum_{n \geq 0} e^{an}(W - W_n)$ 的 $L_p$-收敛成立当且仅当 $\mathbb{E}W_1^p < \infty$ 且 $e^a m^{1/p}(p) < 1$；当 $m(p) \geq m^{p/2}(2)$ 时，$e^a m^{1/2}(2) < 1$ 为必要条件。
• 当 $p = 2$ 时，$L_2$-收敛成立当且仅当 $e^a m^{1/2}(2) < 1$，等价于 $e^{2a} m(2) < 1$。
• 当 $p > \vartheta$ 时，通过比较 $s_n(2)$ 与 $m^n(p)$（其中 $s_n(2)$ 为增量的二阶矩），确认了 $e^a m^{1/p}(p) < 1$ 的必要性。
• 当 $p \geq 2$ 时，$e^{ap} m(p) < 1$ 是 $L_p$-收敛的必要条件，该结论通过 Jensen 不等式与 $\mathbb{E}|W_{n+1} - W_n|^p$ 的矩界推导得出。
• 通过证明 $e^{pan} \mathbb{E}|W_{n+1} - W_n|^p = O(q^n)$（其中 $q < 1$），验证了条件的充分性，方法基于 $\mathbb{E}(Z_n^{(2)})^{p/2}$ 的界与 $x \mapsto x^{p/2}$ 的凸性。
• 在情形 1（$m(p) < m^{p/2}(2)$）中，$\mathbb{E}(Z_n^{(2)})^{p/2} = O(m^n(p)$ 确保收敛，取 $q = e^{ap} m^{p/2}(2)$；在情形 2（$m(p) \geq m^{p/2}(2)$）中，$\mathbb{E}(Z_n^{(2)})^{p/2} = O(n^c m^n(p))$ 允许取 $q = \delta e^{pa} m(p)$（$\delta > 1$ 且接近 1）以实现收敛。