[论文解读] Exponential Separation Between Powers of Regular and General Resolution Over Parities

Sreejata Kishor Bhattacharya, Arkadev Chattopadhyay+1 more|arXiv (Cornell University)|Jan 1, 2024

Matrix Theory and Algorithms被引用 1

一句话总结

该论文通过构造一类可满足性公式，首次建立了广义与底部正则ResLin证明之间的超多项式分离，这些公式具有简短的广义ResLin证明，但其底部正则ResLin证明却需要指数规模。作者利用内积工具对修改后的石子公式进行提升，借助低差异性和抑制性特性，证明在奇偶性上的ResLin系统中，底部正则证明无法高效模拟广义证明。

ABSTRACT

Proving super-polynomial lower bounds on the size of proofs of unsatisfiability of Boolean formulas using resolution over parities is an outstanding problem that has received a lot of attention after its introduction by Raz and Tzamaret [Ann. Pure Appl. Log.'08]. Very recently, Efremenko, Garlík and Itsykson [ECCC'23] proved the first exponential lower bounds on the size of ResLin proofs that were additionally restricted to be bottom-regular. We show that there are formulas for which such regular ResLin proofs of unsatisfiability continue to have exponential size even though there exists short proofs of their unsatisfiability in ordinary, non-regular resolution. This is the first super-polynomial separation between the power of general ResLin and and that of regular ResLin for any natural notion of regularity. Our argument, while building upon the work of Efremenko et al., uses additional ideas from the literature on lifting theorems.

研究动机与目标

• 解决广义ResLin证明是否能被底部正则ResLin证明高效模拟的开放问题。
• 建立广义与底部正则ResLin系统之间证明能力的超多项式分离。
• 将提升定理与差异理论的技术扩展至奇偶性上的解析系统。
• 证明即使在ResLin中，正则性约束仍可能导致证明规模出现指数级膨胀。

提出的方法

• 在金字塔图上构造Alekhnovich等人石子公式的扭曲版本，通过保持正则解析难度的映射进行混淆。
• 使用对数规模的内积（IP）工具对基础公式进行提升，生成奇偶性上的公式。
• 利用IP工具的低差异特性，限制在提升分布下满足线性方程的概率。
• 利用IP工具的抑制性特性，表明分支程序中的仿射空间在高概率下远离使子句为假的状态。
• 应用提升定理，将决策树在基础公式上的平均情况困难性传递至提升后的公式。
• 结合余维数界与概率估计，推导出任何底部正则ResLin证明中节点数目的指数下界。

实验结果

研究问题

• RQ1 广义ResLin证明能否被底部正则ResLin证明高效模拟？
• RQ2 二元鸽巢原理在广义ResLin中是否仍然困难，还是可在无正则性约束下被高效证明？
• RQ3 提升工具的何种结构特性使得其在正则ResLin系统中能产生指数下界？
• RQ4 用于底部正则证明的技术能否扩展至顶部正则或强正则ResLin系统？
• RQ5 是否存在自然公式，使得底部正则ResLin证明需指数规模，尽管广义ResLin证明很短？

主要发现

• 存在一类不可满足公式，其广义ResLin证明为多项式规模，但底部正则ResLin证明需指数规模。
• 所构造的公式SPn,ρ ◦IP对底部正则ResLin困难，其证明规模至少为2Ω(n1/3 / log n)，当参数适切选择时成立。
• 底部正则ResLin证明到达余维数≥t的节点的概率被限制在2−Ω(t/log n)，从而导出节点数目的指数下界。
• 内积工具确保了低差异性和抑制行为，这对维持提升后公式的困难性至关重要。
• 该证明技术可推广至其他公式，如GTn的常宽版本，只要经过适当混淆与提升。
• 该结果首次实现了广义与底部正则ResLin之间超多项式分离，解决了证明复杂性领域的一个关键开放问题。