[论文解读] Exponential spectra in $L^2(μ)$

Xing‐Gang He, Chun‐Kit Lai+1 more|arXiv (Cornell University)|Oct 7, 2011

Mathematical Analysis and Transform Methods参考文献 14被引用 21

一句话总结

本文证明了 $L^2\!\left(\mu\right)$ 中的傅里叶框架蕴含纯类型测度，对具有指数 Riesz 基的离散与奇异连续测度进行了分类。该文构造了首个已知的奇异连续测度实例，其具有指数 Riesz 基但不具有指数标准正交基，利用整数平铺与卷积，将谱理论与分形测度上的调和分析相联系。

ABSTRACT

Let $μ$ be a Borel probability measure with compact support. We consider exponential type orthonormal bases, Riesz bases and frames in $L^2(μ)$. We show that if $L^2(μ)$ admits an exponential frame, then $μ$ must be of pure type. We also classify various $μ$ that admits either kind of exponential bases, in particular, the discrete measures and their connection with integer tiles. By using this and convolution, we construct a class of singularly continuous measures that has an exponential Riesz basis but no exponential orthonormal basis. It is the first of such kind of examples.

研究动机与目标

• 对 $\mathbb{R}^d$ 上具有紧紧支集的博雷尔概率测度 $\mu$ 进行分类，确定其在 $L^2(\mu)$ 中是否允许存在指数框架、Riesz 基或标准正交基。
• 确定离散与奇异连续测度在何种结构条件下可支持此类基。
• 解决一个开放问题：构造一个具有指数 Riesz 基但无指数标准正交基的奇异连续测度。
• 建立 F-谱测度的纯类型律，表明其必须为离散、奇异连续或绝对连续测度。

提出的方法

• 利用框架不等式与下贝氏密度证明 F-谱测度必为纯类型。
• 应用德布兰吉斯的整函数理论，对单位区间情形下的 F-谱进行分类。
• 采用掩模多项式与双零点集刻画 $\mathbb{Z}^+$ 上有限离散测度的标准正交基。
• 利用分圆多项式与整数平铺的性质，从加法平铺条件构造谱集。
• 应用卷积与缩放，从离散谱测度生成具有 Riesz 基的奇异连续测度。
• 证明：若 $\mathcal{A} \oplus \mathcal{B} = \mathbb{N}_n$，则 $\delta_\mathcal{A}$ 是谱测度，其谱位于 $\frac{1}{n}\mathbb{Z}$。

实验结果

研究问题

• RQ1 在何种条件下，具有紧紧支集的博雷尔概率测度 $\mu$ 在 $L^2(\mu)$ 中允许存在指数傅里叶框架？
• RQ2 奇异连续测度是否可能支持指数 Riesz 基，但不支持指数标准正交基？
• RQ3 整数平铺集与离散测度的谱性质之间存在何种关系？
• RQ4 掩模多项式的代数性质及其零点集如何决定谱结构？
• RQ5 F-谱测度在 $L^2(\mu)$ 中的纯类型分类为何？

主要发现

• 若 $L^2(\mu)$ 允许存在指数框架，则 $\mu$ 必为纯类型：离散、奇异连续或绝对连续。
• 所有满足 $0 \in \mathcal{C}$ 的 $\mathbb{Z}^+$ 上的有限离散概率测度均为 R-谱测度。
• 离散测度 $\mu = \sum_{c \in \mathcal{C}} p_c \delta_c$ 为谱测度，当且仅当其掩模多项式 $m_\mu(x)$ 存在大小为 $|\mathcal{C}|$ 的双零点集 $\Lambda$，且所有 $p_c$ 必须相等。
• 本文构造了首个已知的奇异连续测度实例，其具有指数 Riesz 基但无指数标准正交基，方法为利用卷积与整数平铺。
• 若 $\mathcal{A} \oplus \mathcal{B} = \mathbb{N}_n$，则 $\delta_\mathcal{A}$ 是谱测度，其谱位于 $\frac{1}{n}\mathbb{Z}$。
• 有限集 $\mathcal{A} \subset \mathbb{Z}^+$ 上的条件 (T1) 与 (T2) 蕴含 $\delta_\mathcal{A}$ 为谱测度，且其谱在 $\frac{1}{n}\mathbb{Z}$ 中有显式表达。