[论文解读] Exponential stability of a PI plus reset integrator controller by a sampled-data system approach

Miguel A. Davó, Frédéric Gouaisbaut+3 more|arXiv (Cornell University)|Mar 8, 2016

Distributed Control Multi-Agent Systems参考文献 34被引用 5

一句话总结

本文提出一种采样数据系统方法，通过PI+RI（比例-积分加复位积分器）控制器分析时滞复位控制系统的指数稳定性。通过在采样数据框架内重构复位积分器，该方法避免了李雅普诺夫-克拉索夫斯基泛函中的跳跃条件，从而实现基于线性矩阵不等式（LMI）的指数稳定性条件，即使在基础系统不稳定的情况下也能确保稳定性，并通过显式界定复位间隔来保证衰减率。

ABSTRACT

The paper deals with the stability analysis of time-delay reset control systems, for which the resetting law is assumed to satisfy a time-dependent condition. A stability analysis of the closed-loop system is performed based on an appropriate sampled-data system. New linear matrix inequality (LMI) conditions are proposed to ensure the exponential stability of the closed-loop resulting of the connection of a plant with a proportional and integral controller together with a reset integrator (PI+RI).

研究动机与目标

• 解决时滞复位控制系统使用PI+RI控制器时缺乏稳定性分析的问题。
• 克服在李雅普诺夫-克拉索夫斯基分析中因非最小实现和流动条件困难而导致的PI+RI控制器挑战。
• 构建一种将复位控制系统转化为采样数据系统的框架，以确保李雅普诺夫泛函的连续性并避免跳跃条件。
• 提供显式基于LMI的条件，保证具有指定衰减率的指数稳定性。
• 将先前的渐近稳定性结果扩展为具有复位间隔定量边界约束的指数稳定性。

提出的方法

• 将复位积分器重构为采样数据系统，以实现最小实现和连续状态轨迹。
• 结合时钟依赖的李雅普诺夫泛函与环状泛函，分析采样数据系统。
• 引入一种时变复位律，满足边界 $\mathcal{T}_m \leq t_{k+1} - t_k \leq \mathcal{T}_M$，以约束复位时刻。
• 构建适用于具有采样数据结构的时滞系统的李雅普诺夫-克拉索夫斯基泛函。
• 推导出确保给定衰减率 $\alpha$ 下指数稳定性的线性矩阵不等式（LMI）条件。
• 利用现有采样数据稳定性结果的扩展，并结合一种新颖的李雅普诺夫-克拉索夫斯基泛函，以处理PI+RI控制器的双积分器结构。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否通过采样数据系统形式化，保证具有PI+RI控制器的时滞复位控制系统的指数稳定性？
• RQ2 如何通过时间约束缓解复位动作导致稳定基础系统失稳的风险？
• RQ3 确保具有期望衰减率的指数稳定性的最小与最大复位间隔边界 ($\mathcal{T}_m$, $\mathcal{T}_M$) 分别是什么？
• RQ4 复位比和时滞的选择如何影响不稳定基础系统中允许的复位周期？
• RQ5 所提出的基于LMI的条件是否可应用于稳定与不稳定基础系统，并保证指数收敛？

主要发现

• 对于时滞 $h=1$ 的稳定基础系统，当复位间隔满足 $\mathcal{T}_m \geq 0.94$ 且 $\mathcal{T}_M = 1$ 时，复位控制系统实现指数稳定，衰减率为 $\alpha = 10^{-6}$。
• 当基础系统不稳定时，通过合理设定 $\mathcal{T}_m \leq t_{k+1} - t_k \leq \mathcal{T}_M$ 的边界，复位控制系统的指数稳定性依然可实现，如示例4.2所示。
• 随着 $M$（每区间采样点数）增加，实现指数稳定所需的最小 $\mathcal{T}_m$ 减小，但当 $M > 2$ 后改善趋于平缓。
• 在示例4.2中，衰减率 $\alpha$ 随复位周期 $T$ 缩短而增加，且 $\mathcal{T}_m = 0.01\mathcal{T}_M$ 允许实现具有可控衰减率的稳定运行。
• 所提方法通过采样数据重构确保李雅普诺夫泛函的连续性，成功避免了跳跃条件，从而实现有效的稳定性分析。
• 推导出的LMI条件对渐近稳定性和指数稳定性均有效，后者提供了衰减率的定量保证。