[论文解读] Exponential stability of systems of vector delay differential equations with applications to second order equations

Leonid Berezansky, Elena Braverman|arXiv (Cornell University)|Jan 12, 2021

Numerical methods for differential equations参考文献 25被引用 6

一句话总结

本论文利用博尔-佩罗尼定理、矩阵测度和M-矩阵等技术，为具有矩阵系数和分布时滞的向量时滞微分方程系统建立了新的显式指数稳定性条件。论文推导出针对二阶向量时滞微分方程的首个显式稳定性测试方法，为控制理论和具有时滞的动力系统稳定性分析奠定了基础。

ABSTRACT

Various results and techniques, such as Bohl-Perron theorem, a priori solution estimates, M-matrices and the matrix measure, are applied to obtain new explicit exponential stability conditions for the system of vector functional differential equations $$ \dot{x_i}(t)=A_i(t)x_i(h_i(t)) +\sum_{j=1}^n \sum_{k=1}^{m_{ij}} B_{ij}^k(t)x_j(h_{ij}^k(t)) + \sum_{j=1}^n\int\limits_{g_{ij}(t)}^t K_{ij}(t,s)x_j(s)ds,~i=1,\dots,n. $$ Here $x_i$ are unknown vector functions, $A_i, B_{ij}^k, K_{ij}$ are matrix functions, $h_i,h_{ij}^k, g_{ij}$ are delayed arguments. Using these results, we deduce explicit exponential stability tests for second order vector delay differential equations.

研究动机与目标

• 解决一阶向量时滞微分方程系统在具有矩阵系数和分布时滞条件下缺乏显式指数稳定性准则的问题。
• 将稳定性分析扩展至二阶向量时滞微分方程，尽管该类系统在控制理论中有实际应用，但现有研究成果有限。
• 构建一个适用于具有时变时滞和分布时滞的线性和非线性二阶系统的通用框架。
• 基于矩阵测度、M-矩阵和先验估计，提供显式且可验证的稳定性条件。
• 通过提供适用于集中时滞和分布时滞的系统化方法，弥合功能微分方程稳定性理论中的空白。

提出的方法

• 利用矩阵测度（对数范数）通过积分不等式控制解的增长。
• 应用博尔-佩罗尼定理，将非齐次系统的解的 $ L^\infty $-有界性与齐次系统的指数稳定性联系起来。
• 采用解的导数的先验估计，以控制时滞项的行为。
• 运用M-矩阵理论，确保稳定性分析中至关重要的正定性和可逆性条件。
• 通过与线性系统比较并将其转化为等价的一阶系统，推导出稳定性条件。
• 应用科佩尔不等式，利用矩阵测度估计关联齐次系统的基本矩阵。

实验结果

研究问题

• RQ1 对于具有矩阵系数和分布时滞的一阶向量时滞微分方程系统，可以推导出哪些显式指数稳定性条件？
• RQ2 博尔-佩罗尼定理如何应用于具有时变时滞和分布项的系统，以建立指数稳定性？
• RQ3 对于具有分布时滞的二阶向量时滞微分方程，指数稳定性的必要和充分条件是什么？
• RQ4 所提出的稳定性准则与文献中现有结果相比，在强度和适用性方面如何？
• RQ5 该框架能否扩展至具有导数时滞的非线性或中立型二阶系统？

主要发现

• 本论文为具有分布时滞的二阶向量时滞微分方程建立了新的指数稳定性测试方法，首次为该类系统提供了显式且可验证的稳定性条件。
• 对于线性二阶方程 $ \ddot{x}(t) + A(t)\dot{x}(t) + B(t)x(h(t)) = 0 $，论文推导出涉及 $ \tilde{A} $ 的矩阵测度 $ \mu(-\tilde{A}) < 0 $ 以及 $ 2\tilde{A}A - \tilde{A}^2 - 4B $ 范数有界的稳定性条件，该条件可确保解的指数衰减。
• 推论4.12中的稳定性条件与维度 $ d $ 无关，而某些先前结果则与之相关；当 $ d \to \infty $ 时，该条件更具优势，因此在高维系统中表现更优。
• 在标量情形（$ d=1 $）下，该条件简化为 $ |A^2 - 4B| < A^2 - 4AB\tau $，当 $ d > 16 $ 时，该条件比先前工作的 $ B\tau < A $ 更为严格。
• 基于博尔-佩罗尼定理和矩阵测度的方法在某些情况下（尤其是非自治系统）比李雅普诺夫泛函方法得出更强且更普遍的结果。
• 该结果已扩展至具有多个有界时滞和分布时滞的系统，表明该框架具有广泛的通用性和对更广泛类时滞方程的适用性。