[论文解读] Exponential stock models driven by tempered stable processes

Uwe Küchler, Stefan Tappe|arXiv (Cornell University)|Feb 26, 2014

Stochastic processes and financial applications参考文献 38被引用 21

一句话总结

本文系统分析了由变型稳定Lévy过程驱动的指数股票模型中的等价鞅测度，重点在于保持期权定价的解析可计算性。研究建立了Esscher、最小熵、p-最优及Föllmer-Schweizer鞅测度的存在条件，推导出显式定价公式，并通过DAX案例研究展示了模型在隐含波动率曲面上的稳定性。

ABSTRACT

We investigate exponential stock models driven by tempered stable processes, which constitute a rich family of purely discontinuous L\'{e}vy processes. With a view of option pricing, we provide a systematic analysis of the existence of equivalent martingale measures, under which the model remains analytically tractable. This includes the existence of Esscher martingale measures and martingale measures having minimal distance to the physical probability measure. Moreover, we provide pricing formulae for European call options and perform a case study.

研究动机与目标

• 建立由变型稳定过程驱动的指数股票模型中等价鞅测度的存在条件。
• 通过保持驱动过程的变型稳定特性，确保在这些测度下期权定价的解析可计算性。
• 利用傅里叶变换技术，推导在各种鞅测度下欧洲看涨期权的显式定价公式。
• 通过基于DAX历史数据的案例研究及隐含波动率曲面计算，验证模型的稳定性和实际适用性。

提出的方法

• 通过具有六个参数（α±, β±, λ±）的变型稳定过程驱动的指数Lévy过程建模股票价格。
• 应用Esscher变换，推导出使过程保持变型稳定性的等价鞅测度。
• 使用双边Esscher变换构造最小熵与p-最优鞅测度，通过凸优化与矩生成函数推导其存在条件。
• 采用Föllmer-Schweizer最小鞅测度，该测度下过程可分解为两个独立的变型稳定分量。
• 通过特征函数反演的傅里叶变换方法推导期权定价公式。
• 通过基于DAX的案例研究验证结果，从历史数据中估计参数，并计算期权价格与隐含波动率曲面。

实验结果

研究问题

• RQ1 在何种条件下，变型稳定驱动的指数股票模型中存在Esscher鞅测度？
• RQ2 最小熵鞅测度在何种条件下存在，其存在性如何依赖于参数λ+和λ−？
• RQ3 是否可以构造Föllmer-Schweizer最小鞅测度，使得驱动过程保持解析可计算性？
• RQ4 在实践中，不同鞅测度如何影响隐含波动率曲面？
• RQ5 在模型参数的小校准误差下，所得期权价格的稳定性如何？

主要发现

• 当且仅当λ+ + λ− > 1 且 r − q 属于区间 (f(−λ−), f(λ+ − 1)] 时，Esscher鞅测度存在，其中 f(Θ) 通过矩生成函数定义。
• 当λ+ < 1，或当λ+ ≥ 1 且满足涉及α±, β±, λ± 的漂移条件时，最小熵鞅测度存在。
• Föllmer-Schweizer最小鞅测度存在的充要条件是：α+Γ(−β+) ((λ+ −1)β+ − λ+β+) + α−Γ(−β−) ((λ−+1)β− − λ−β−) ≥ r − q。
• 通过傅里叶变换技术推导出期权定价公式，实现了在所有研究的鞅测度下对欧洲看涨期权价格的解析计算。
• 基于DAX的案例研究显示，当均值和标准差发生小扰动时，期权价格与隐含波动率曲面保持局部平坦，表明对校准误差具有鲁棒性。
• 在最小熵测度下计算的隐含波动率曲面在短期期限呈现波动率微笑，而长期期限则趋于平坦，与[28]中使用不同校准方法的结果一致。