[论文解读] Exponential Sums, Cyclic Codes and Sequences: the Odd Characteristic Kasami Case

Jinquan Luo, Yuansheng Tang+1 more|ArXiv.org|Feb 26, 2009

Coding theory and cryptography参考文献 19被引用 9

一句话总结

本论文确定了在奇特征有限域上涉及迹函数的指数和的取值分布，具体针对形如 $\sum_{x \in \mathbb{F}_q} \zeta_p^{\mathrm{Tr}_1^m(\alpha x^{p^m+1}) + \mathrm{Tr}_1^n(\beta x^{p^k+1})}$ 和 $\sum_{x \in \mathbb{F}_q} \zeta_p^{\mathrm{Tr}_1^m(\alpha x^{p^m+1}) + \mathrm{Tr}_1^n(\beta x^{p^k+1} + \gamma x)}$ 的和，其中 $q = p^n$，$n = 2m$，且 $k \neq m$。主要贡献在于显式计算了这些和，从而得以确定在 $\mathbb{F}_{p^t}$ 上的两个循环码 $\mathcal{C}_1$ 和 $\mathcal{C}_2$ 的重量分布，以及一族 m-序列之间的相关性分布。

ABSTRACT

Let $q=p^n$ with $n=2m$ and $p$ be an odd prime. Let $0\leq k\leq n-1$ and $k eq m$. In this paper we determine the value distribution of following exponential(character) sums \[\sum\limits_{x\in \bF_q}ζ_p^{\Tra_1^m (αx^{p^{m}+1})+\Tra_1^n(βx^{p^k+1})}\quad(α\in \bF_{p^m},β\in \bF_{q})\] and \[\sum\limits_{x\in \bF_q}ζ_p^{\Tra_1^m (αx^{p^{m}+1})+\Tra_1^n(βx^{p^k+1}+\ga x)}\quad(α\in \bF_{p^m},β,\ga\in \bF_{q})\] where $\Tra_1^n: \bF_q a \bF_p$ and $\Tra_1^m: \bF_{p^m} a\bF_p$ are the canonical trace mappings and $ζ_p=e^{\frac{2πi}{p}}$ is a primitive $p$-th root of unity. As applications: (1). We determine the weight distribution of the cyclic codes $\cC_1$ and $\cC_2$ over $\bF_{p^t}$ with parity-check polynomials $h_2(x)h_3(x)$ and $h_1(x)h_2(x)h_3(x)$ respectively where $t$ is a divisor of $d=\gcd(m,k)$, and $h_1(x)$, $h_2(x)$ and $h_3(x)$ are the minimal polynomials of $π^{-1}$, $π^{-(p^k+1)}$ and $π^{-(p^m+1)}$ over $\bF_{p^t}$ respectively for a primitive element $π$ of $\bF_q$. (2). We determine the correlation distribution among a family of m-sequences. This paper extends the results in \cite{Zen Li}.

研究动机与目标

• 确定奇特征有限域上特定指数和的取值分布。
• 根据给定的校验多项式，推导 $\mathbb{F}_{p^t}$ 上循环码 $\mathcal{C}_1$ 和 $\mathcal{C}_2$ 的重量分布。
• 利用计算出的指数和，分析一族 m-序列之间的相关性分布。
• 推广文献中先前的结果，特别是参考文献 [30] 中关于奇特征 Kasami 情况的研究。

提出的方法

• 论文利用迹映射 $\mathrm{Tr}_1^n: \mathbb{F}_q \to \mathbb{F}_p$ 和 $\mathrm{Tr}_1^m: \mathbb{F}_{p^m} \to \mathbb{F}_p$，其中 $\zeta_p = e^{2\pi i / p}$，在 $\mathbb{F}_q = \mathbb{F}_{p^n}$ 上计算指数和，且满足 $n = 2m$，$p$ 为奇数。
• 它利用高斯和与特征和的性质，特别是利用二次高斯和与勒让德符号 $\eta_0(\omega)$，在相关方程的不同可解性条件下对和进行计算。
• 该方法涉及对 $\mathbb{F}_q$ 中方程 $\phi_{\alpha,\beta}(x) + \gamma = 0$ 的解进行分类，根据解是否存在，以及 $s-i$ 和 $d/t$ 的奇偶性进行区分，其中 $d = \gcd(k,m)$，$s = n/d$。
• 它使用迹映射 $\mathrm{Tr}_t^n$ 将码字重量与指数和联系起来，将码字的汉明重量表示为 $w_H(c) = p^{n-t}(p^t - 1) - \frac{1}{p^t} \sum_{a \in \mathbb{F}_{p^t}^*} S(a\alpha_1, \dots, a\alpha_u)$，其中 $S$ 为指数和。
• 分析根据 $\phi_{\alpha,\beta}(x) + \gamma = 0$ 的可解性进行区分，导致对 $R(\alpha,\beta,\gamma) = \sum_{\omega \in \mathbb{F}_{p^t}^*} S(\omega\alpha, \omega\beta, \omega\gamma)$ 的不同计算结果。
• 它应用了特征和与高斯和理论的结果，特别是当 $\eta'$ 为非平凡二次特征时，有 $\sum_{\omega \in \mathbb{F}_{p^t}^*} \eta'(\omega) = 0$，从而推导出和的精确值。

实验结果

研究问题

• RQ1 对于 $\alpha \in \mathbb{F}_{p^m}$，$\beta \in \mathbb{F}_q$，$q = p^n$，$n = 2m$，$p$ 为奇数，且 $k \neq m$，指数和 $\sum_{x \in \mathbb{F}_q} \zeta_p^{\mathrm{Tr}_1^m(\alpha x^{p^m+1}) + \mathrm{Tr}_1^n(\beta x^{p^k+1})}$ 的取值分布是什么？
• RQ2 在指数中加入线性项 $\gamma x$ 如何影响指数和 $\sum_{x \in \mathbb{F}_q} \zeta_p^{\mathrm{Tr}_1^m(\alpha x^{p^m+1}) + \mathrm{Tr}_1^n(\beta x^{p^k+1} + \gamma x)}$ 的取值分布？
• RQ3 在 $\mathbb{F}_{p^t}$ 上，具有校验多项式 $h_2(x)h_3(x)$ 的循环码 $\mathcal{C}_1$ 的重量分布是什么，其中 $h_2$ 和 $h_3$ 分别是 $\pi^{-(p^k+1)}$ 和 $\pi^{-(p^m+1)}$ 在 $\mathbb{F}_{p^t}$ 上的极小多项式？
• RQ4 在 $\mathbb{F}_{p^t}$ 上，具有校验多项式 $h_1(x)h_2(x)h_3(x)$ 的循环码 $\mathcal{C}_2$ 的重量分布是什么，其中 $h_1$ 是 $\pi^{-1}$ 在 $\mathbb{F}_{p^t}$ 上的极小多项式？
• RQ5 由本文研究的指数和导出的一族 m-序列之间的相关性分布是什么？

主要发现

• 指数和 $\sum_{x \in \mathbb{F}_q} \zeta_p^{\mathrm{Tr}_1^m(\alpha x^{p^m+1}) + \mathrm{Tr}_1^n(\beta x^{p^k+1})}$ 的取值分布已完全确定，其取值为 $\{0, \pm p^{m + \frac{id}{2}}, \pm p^{m + \frac{id + t}{2}}\}$，具体取决于参数和可解性条件。
• 当 $\phi_{\alpha,\beta}(x) + \gamma = 0$ 在 $\mathbb{F}_q$ 中有解时，和 $R(\alpha,\beta,\gamma) = \sum_{\omega \in \mathbb{F}_{p^t}^*} S(\omega\alpha, \omega\beta, \omega\gamma)$ 的取值为 $0$，$\varepsilon p^{m + \frac{id + t}{2}}$，或 $-\varepsilon p^{m + \frac{id + t}{2}}$，具体取决于 $s-i$ 和 $d/t$ 的奇偶性，以及迹值 $\vartheta = \mathrm{Tr}_t^m(\alpha x_0^{p^m+1}) + \mathrm{Tr}_t^n(\beta x_0^{p^k+1})$。
• 当 $\phi_{\alpha,\beta}(x) + \gamma = 0$ 在 $\mathbb{F}_q$ 中无解时，对所有 $\omega \in \mathbb{F}_{p^t}^*$ 有 $S(\omega\alpha, \omega\beta, \omega\gamma) = 0$，因此 $R(\alpha,\beta,\gamma) = 0$，从而导致码字重量为 $p^{n-t}(p^t - 1)$。
• 循环码 $\mathcal{C}_1$ 的重量分布由和 $T(\alpha,\beta)$ 推导得出，码字重量取值为 $p^{n-t}(p^t - 1) \pm p^{m + \frac{id}{2}}$，具体取决于 $\varepsilon = \pm 1$，其中 $i$ 与相关二次型的秩有关。
• 循环码 $\mathcal{C}_2$ 的重量分布通过结合 $T(\alpha,\beta)$ 和和 $R(\alpha,\beta,\gamma)$ 的结果完全确定，其重量取决于 $\phi_{\alpha,\beta}(x) + \gamma = 0$ 的可解性，以及 $s-i$ 和 $d/t$ 的奇偶性，得到的重量形式为 $p^{n-t}(p^t - 1) \pm p^{m + \frac{id + t}{2}}$ 或 $p^{n-t}(p^t - 1) \pm (p^t - 1)p^{m + \frac{id}{2}}$。
• 利用计算出的指数和，显式确定了该族 m-序列之间的相关性分布，扩展了奇特征 Kasami 情况下的先前结果。