[论文解读] Exponential suppression of decoherence and relaxation of quantum systems using energy penalty

Iman Marvian|arXiv (Cornell University)|Feb 10, 2016

Quantum Information and Cryptography参考文献 2被引用 7

一句话总结

本文通过使用能量惩罚哈密顿量保护逻辑量子比特处于基态子空间，严格证明了量子系统中退相干和弛豫的指数抑制。通过微扰理论对系统-环境相互作用进行严谨分析，证明即使在无限温度极限下，保真度损失仍会随能量间隙与环境相互作用之比呈指数级抑制，且考虑了导致代码空间内产生幺正演化之兰姆移位效应。

ABSTRACT

One of the main methods for protecting quantum information against decoherence is to encode information in the ground subspace (or the low energy sector) of a Hamiltonian with a large energy gap which penalizes errors from environment. The protecting Hamiltonian is chosen such that its degenerate ground subspace is an error detecting code for the errors caused by the interaction with the environment. We consider environments with arbitrary number of local sites, e.g. spins, whose interactions among themselves are local and bounded. Then, assuming the system is interacting with a finite number of sites in the environment, we prove that, up to second order with respect to the coupling constant, decoherence and relaxation are suppressed by a factor which grows exponentially fast with the ratio of energy penalty to the norm of local interactions in the environment. The state may, however, still evolve unitarily inside the code subspace due to the Lamb shift effect. In the context of adiabatic quantum computation, this means that the evolution inside the code subspace is effectively governed by a renormalized Hamiltonian. The result is derived from first principles, without use of master equations or their assumptions, and holds even in the infinite temperature limit. We also prove that unbounded or non-local interactions in the environment at sites far from the system do not considerably modify the exponential suppression. Our main technical tool is a new bound on the decay of power spectral density at high frequencies for local observables and many-body Hamiltonians with bounded and local interactions in a neighborhood around the support of the observable.

研究动机与目标

• 严格建立受能量惩罚哈密顿量保护的量子系统中退相干与弛豫的指数抑制。
• 解决先前理论界限（标度为 $E_{\text{gap}}^{-2}$）与数值模拟结果之间显示更强抑制之间的矛盾。
• 考虑兰姆移位效应的影响，该效应在代码子空间内引起幺正演化，从而破坏朴素保真度界限的有效性。
• 证明非局域或无界环境相互作用不会显著影响指数抑制。
• 开发一种适用于特定模型之外的一般微扰框架，用于通过能量惩罚实现误差抑制。

提出的方法

• 基于第一性原理，不使用主方程，将时间演化密度矩阵的耦合常数 $\lambda$ 展开至二阶微扰，推导出该展开式。
• 提出一种关于微扰区域内误差抑制的新定理，建立分析能量惩罚保护的正式框架。
• 利用局域可观测量的功率谱密度来限制高频贡献，形式化了快速振荡对局域动力学影响可忽略的直觉。
• 应用平衡态功率谱密度 $P_B^{\text{eq}}(\omega)$ 的边界，证明其随能量间隙 $E_{\text{gap}}$ 增大而指数衰减。
• 通过 $b_n(t)$ 的最大值推导出保真度损失的上界，该值量化了系统对能量 $E_n \geq E_{\text{gap}}$ 的环境模态的响应，并证明其在 $E_{\text{gap}}/J_{\text{max}}$ 上呈指数抑制。
• 证明兰姆移位效应导致代码子空间内发生幺正演化，因此必须进行校正才能完全恢复初始态。

实验结果

研究问题

• RQ1 在一般环境条件下，是否能严格证明能量惩罚量子系统中退相干的指数抑制？
• RQ2 为何数值模拟显示的抑制强于先前预测的 $E_{\text{gap}}^{-2}$ 边界？
• RQ3 兰姆移位效应如何影响代码子空间内的有效动力学？为何必须考虑其影响？
• RQ4 若环境中存在非局域或无界相互作用，是否会使误差的指数抑制失效？
• RQ5 环境功率谱中的高频分量起什么作用？能否对其实施严格界定？

主要发现

• 保真度损失被抑制的因子随比值 $E_{\text{gap}}/(16J_{\text{max}}rk)$ 呈指数增长，其中 $J_{\text{max}}$ 为最大局域相互作用强度，$r,k$ 为与环境结构相关的参数。
• 抑制因子包含一项 $\frac{2^{R_{\text{I}}/rk}+1}{\text{Exp}_l\left(\frac{E_{\text{gap}}}{16J_{\text{max}}rk}\right)}$，其随 $E_{\text{gap}}$ 增大而指数衰减，从而实现强烈抑制。
• 兰姆移位效应引起代码子空间内的幺正演化，必须进行校正才能完全恢复初始态；忽略该效应将仅导致 $E_{\text{gap}}^{-1}$ 的抑制。
• 即使在无限温度极限下，指数抑制依然成立，表明该保护机制具有强鲁棒性。
• 只要局域相互作用有界，即使环境中的非局域或无界相互作用远离系统，也不会显著降低指数抑制效果。
• 对功率谱密度 $P_B^{\text{eq}}(\omega)$ 推导出的边界形式化了高频环境模态对局域可观测量影响可忽略的结论。