[论文解读] Exponentially more concise quantum recognition of non-RMM regular languages

Daowen Qiu, Lvzhou Li+2 more|arXiv (Cornell University)|Sep 8, 2009

Quantum Computing Algorithms and Architecture参考文献 41被引用 5

一句话总结

本文提出了1QFAC这一新型单向量子有限自动机模型，该模型结合了经典状态与量子态，能够以有界误差识别所有正则语言，并在状态压缩方面实现相对于确定性有限自动机（DFA）的指数级优化。关键贡献在于证明了对于某些非RMM正则语言，1QFAC可相对于DFA实现指数级更紧凑的表示，同时保持等价性与最小化问题的可判定性。

ABSTRACT

We show that there are quantum devices that accept all regular languages and that are exponentially more concise than deterministic finite automata (DFA). For this purpose, we introduce a new computing model of {\it one-way quantum finite automata} (1QFA), namely, {\it one-way quantum finite automata together with classical states} (1QFAC), which extends naturally both measure-only 1QFA and DFA and whose state complexity is upper-bounded by both. The original contributions of the paper are the following. First, we show that the set of languages accepted by 1QFAC with bounded error consists precisely of all regular languages. Second, we prove that 1QFAC are at most exponentially more concise than DFA. Third, we show that the previous bound is tight for families of regular languages that are not recognized by measure-once (RMO), measure-many (RMM) and multi-letter 1QFA. % More concretely we exhibit regular languages $L^0(m)$ for $m$ prime such that: (i) $L^0(m)$ cannot be recognized by measure-once, measure-many and multi-letter 1QFA; (ii) the minimal DFA that accepts $L^0(m)$ has $O(m)$ states; (iii) there is a 1QFAC with constant classical states and $O(\log(m))$ quantum basis that accepts $L^0(m)$. Fourth, we give a polynomial-time algorithm for determining whether any two 1QFAC are equivalent. Finally, we show that state minimization of 1QFAC is decidable within EXPSPACE. We conclude the paper by posing some open problems.

研究动机与目标

• 开发一种实用的量子自动机模型，继承经典有限自动机的结构，同时利用量子力学实现更高的状态效率。
• 解决现有1QFA模型（如MO-1QFA、MM-1QFA、多字母1QFA）无法识别某些正则语言或所需状态数超过DFA的问题。
• 证明1QFAC可对无法被单次测量、多次测量或多字母1QFA识别的正则语言实现指数级状态压缩。
• 建立1QFAC等价性与最小化问题的可判定性，为量子自动机的实际验证与优化提供基础。

提出的方法

• 提出1QFAC作为混合模型：一种具有经典状态与量子基矢状态的有限自动机，其转移规则由经典状态条件化的酉操作决定。
• 通过在输入结束时进行测量定义接受机制，接受概率由量子态与接受子空间的重叠度决定。
• 利用良好序论证与有限阈值内的状态等价性，将等价性问题归约为有限多个字符串的检查。
• 提出基于界 $(k_1n_1)^2 + (k_2n_2)^2 - 1$ 的多项式时间算法，用于判断1QFAC的等价性，其中 $k_i$ 与 $n_i$ 分别为经典状态与量子状态的数量。
• 证明1QFAC的最小化问题可在EXPSPACE内判定，方法是将其约化为在有限字符串集上进行等价性检查。
• 利用已知的量子态可区分性与自动机等价性结果，界定用于测试等价性所需字符串数量的上界。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否设计一种量子自动机模型，使其能够识别所有正则语言，同时在状态数量上相对于确定性有限自动机（DFA）实现指数级压缩？
• RQ2 1QFAC的等价性问题是否可判定，且能否在多项式时间内求解？
• RQ3 1QFAC的最小化问题是否可在已知复杂度类（如EXPSPACE）内判定？
• RQ4 对于非RMM正则语言，1QFAC的状态复杂度与MO-1QFA、MM-1QFA或辅助量子位1QFA等其他1QFA模型相比如何？
• RQ5 对于给定的正则语言，1QFAC的量子态复杂度相对于其最小DFA的最紧下界是什么？

主要发现

• 1QFAC能够以有界误差识别所有正则语言，证明了1QFAC所接受的语言集合恰好是正则语言类。
• 1QFAC相对于DFA至多实现指数级压缩，且该界对无法被MO-1QFA、MM-1QFA或多字母1QFA识别的正则语言是紧致的。
• 对于任意满足 $m \geq 2$ 的素数 $m$，存在一个正则语言 $L_m$，其最小DFA需要 $O(m)$ 个状态，但在1QFAC中仅需 $O(\log m)$ 个量子基矢状态与常数个经典状态。
• 存在一个多项式时间算法，可判断两个1QFAC是否等价，其时间复杂度为 $O((k_1n_1)^2 + (k_2n_2)^2)^4$。
• 1QFAC的最小化问题可在EXPSPACE内判定，解决了Moore与Crutchfield提出的关于MO-1QFA最小化问题的开放性问题。
• 作为推论，MO-1QFA的最小化问题同样可判定，为文献[33]中的问题5提供了完整解答。