[论文解读] Exponentiated Inverse Power Lindley Distribution and its Applications

Rameesa Jan, T. R. Jan+1 more|arXiv (Cornell University)|Aug 22, 2018

Statistical Distribution Estimation and Applications参考文献 13被引用 8

一句话总结

本文提出指数逆幂Lindley分布（Exponentiated Inverse Power Lindley Distribution, EIPLD），一种通过将逆幂Lindley分布的累积分布函数进行指数化而导出的三参数灵活寿命分布。该模型能有效捕捉浴盆形风险率，通过AIC/BIC指标显示其在真实维修时间数据上的拟合效果优于现有分布，且通过模拟验证了最大似然估计量的一致性。

ABSTRACT

In this article,a three parameter generalisation of inverse lindley distribution is obtained, with the purpose of obtaining a more flexible model relative to the behaviour of hazard rate functions. Various statistical properties such as density, hazard rate functions, moments, moment generating functions, stochastic ordering, Renyi entropy, distribution of rth order statistics has been derived. The method of maximum likelihood estimation has been used to estimate parameters. Further confidence intervals are also obtained. Finally applicability of the proposed model to the real data is analysed. A comparison has also been made with some existing distributions.

研究动机与目标

• 开发一种灵活的三参数分布，能够有效建模生存与可靠性分析中的非单调风险率，特别是浴盆形风险率。
• 通过指数化方法推广逆Lindley分布与逆幂Lindley分布，增强对复杂失效时间行为的建模灵活性。
• 推导新分布的关键统计特性，包括矩、矩生成函数、顺序统计量、随机序关系以及Rényi熵。
• 提供基于最大似然估计的完整参数估计框架，包括渐近置信区间。
• 通过AIC、BIC与Kolmogorov-Smirnov统计量，评估模型在真实世界数据上的表现，并与现有分布进行比较。

提出的方法

• 通过变换 $ G_\theta(z) = [G(z)]^\theta $ 提出指数逆幂Lindley分布（EIPLD），其中 $ G(z) $ 为逆幂Lindley分布的CDF。
• 推导概率密度函数（PDF）为 $ g_\theta(z) = \frac{\theta \beta^{2\theta}}{1+\beta} \frac{1+z^\theta}{z^{2\theta+1}} e^{-\theta\beta / z^\theta} \big[1 + \frac{\beta}{1+\beta} \frac{1}{z^\theta} \big]^{\theta-1} $，参数为 $ \theta > 0 $，$ \beta > 0 $，$ \theta > 0 $。
• 推导生存函数 $ S(z) = 1 - \big[ \big(1 + \frac{\beta}{1+\beta} \frac{1}{z^\theta} \big) e^{-\beta / z^\theta} \big]^\theta $ 与风险函数 $ h(z) = \frac{g_\theta(z)}{S(z)} $。
• 建立统计特性，包括通过矩生成函数推导矩、Rényi熵、随机序关系以及第 $ r $ 个顺序统计量的分布。
• 应用最大似然估计（MLE）估计参数 $ \theta, \beta, \theta $，并推导观测信息矩阵以获得渐近方差-协方差矩阵与置信区间。
• 在R语言中使用逆CDF方法进行模拟研究，评估不同样本量 $ n = 25, 50, 100, 200, 300, 500 $ 下的偏差、方差与均方误差（MSE）。

实验结果

研究问题

• RQ1 该逆幂Lindley分布的三参数推广是否能比现有模型更灵活地建模非单调风险率，特别是浴盆形风险率？
• RQ2 在所提出的EIPLD中，统计特性——矩、矩生成函数、Rényi熵、随机序关系及顺序统计量——的表现如何？
• RQ3 EIPLD的极大似然估计量在不同样本量下，其偏差、方差与MSE表现如何？
• RQ4 与Weibull、Lindley及指数指数分布等竞争分布相比，EIPLD在真实维修时间数据上的拟合效果是否显著更优？
• RQ5 参数 $ \theta, \beta, \theta $ 的渐近置信区间为何？其在有限样本中的表现如何？

主要发现

• 在拟合主动维修时间数据时，EIPLD的AIC（184.91）与BIC（189.97）值在所有比较模型中最低，表明其模型拟合效果最优。
• EIPLD的Kolmogorov-Smirnov检验统计量为0.09537，为所有模型中最小，表明其与经验分布最接近。
• 参数的极大似然估计值为 $ \theta = 1.20167 $，$ \beta = 25.94112 $，$ \theta = 0.06205 $，负对数似然值为89.45。
• 模拟结果表明，随着样本量增加，$ \theta, \beta, \theta $ 的MLE估计量的偏差、方差与MSE均减小，证实了估计量的一致性与可靠性。
• 与Lindley分布及广义Lindley分布相比，EIPLD的负对数似然值降低了超过6个单位，表明其拟合效果显著更优。
• 当 $ \theta = 1 $ 时，该模型退化为逆Lindley分布；当 $ \theta = \theta = 1 $ 时，退化为逆幂Lindley分布，验证了其广义性。