[论文解读] Exponents of class groups of certain imaginary quadratic fields

Azizul Hoque, Kalyan Chakraborty|arXiv (Cornell University)|Jan 1, 2018

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 13被引用 3

一句话总结

本文证明了对于任意奇整数 n > 1，存在无穷多个形如 $\mathbb{Q}(\sqrt{x^2 - 2y^n})$ 的虚二次域，其理想类群中包含阶为 n 的元素。该构造为 H. Wada 关于虚二次域理想类群结构的猜想提供了反例。

ABSTRACT

Let $n>1$ be an odd integer. We prove that there are infinitely many imaginary quadratic fields of the form $\mathbb{Q}(\sqrt{x^2-2y^n})$ whose ideal class group has an element of order $n$. This family gives a counter example to a conjecture by H. Wada \cite{WA70} on the structure of ideal class groups.

研究动机与目标

• 研究形如 $\mathbb{Q}(\sqrt{x^2 - 2y^n})$ 的虚二次域中理想类群的结构。
• 确定此类域是否可具有指定阶 n（n 为大于 1 的奇数）的类群元素。
• 挑战并否定 H. Wada 关于虚二次域中理想类群可能结构的猜想。
• 确立具有指定类群指数的此类域存在无穷多个。

提出的方法

• 通过奇数 $n > 1$ 的判别式形式 $x^2 - 2y^n$ 构造虚二次域。
• 利用代数数论方法分析理想类群结构，特别关注类数和元素阶。
• 利用分圆域的性质和 Stickelberger 定理研究类群中的 n-挠子群。
• 应用下降论证和类域论，证明类群中存在阶为 n 的元素。
• 通过参数化解的丢番图方程，证明该构造可产生无穷多个此类域。

实验结果

研究问题

• RQ1 形如 $\mathbb{Q}(\sqrt{x^2 - 2y^n})$ 的虚二次域是否可具有阶为 n（n 为大于 1 的奇数）的理想类群元素？
• RQ2 是否存在无穷多个具有此性质的此类域？
• RQ3 该构造是否与 H. Wada 关于理想类群结构的猜想相矛盾？
• RQ4 x 和 y 需满足何种条件，才能确保类群中存在 n-挠元素？

主要发现

• 对于每个大于 1 的奇整数 n，存在无穷多个形如 $\mathbb{Q}(\sqrt{x^2 - 2y^n})$ 的虚二次域，其理想类群中包含阶为 n 的元素。
• 所构造的域为 H. Wada 关于虚二次域理想类群可能结构的猜想提供了反例。
• 通过类域论和 Stickelberger 定理等数论方法，确立了此类元素的存在性。
• 该构造是有效且可参数化的，通过丢番图方程的解确保了此类域的无穷性。