[论文解读] Exponents of inhomogeneous Diophantine Approximation

Yann Bugeaud, Laurent Michel|ArXiv.org|Jun 3, 2004

Mathematical Dynamics and Fractals参考文献 14被引用 4

一句话总结

本文在非齐次丢番图逼近中引入了新的指数，并建立了矩阵 A 在一般点处的非齐次逼近指数与其中转置矩阵的均匀齐次逼近指数之间的对偶性。关键结果表明，对几乎所有 θ ∈ ℝⁿ，有 w(A,θ) ≥ 1/ŵ(ᵗA) 且 ŵ(A,θ) ≥ 1/w(ᵗA)，且等式几乎处处成立，从而以精确的定量界限改进了经典的传递原理。

ABSTRACT

In Diophantine approximation, inhomogeneous problems are linked with homogeneous ones by means of the so-called Transference Theorems. We revisit this classical topic by introducing new exponents of Diophantine approximation. We prove that the exponent of approximation to a generic point in R^n by a system of n linear forms is equal to the inverse of the uniform homogeneous exponent associated to the system of dual forms.

研究动机与目标

• 以新引入的、可定量控制的指数重新表述经典传递原理在非齐次丢番图逼近中的形式。
• 建立矩阵 A 的非齐次逼近指数与其中转置矩阵 ᵗA 的均匀齐次逼近指数之间的精确对偶性。
• 确定非齐次逼近指数在 ℝⁿ 中几乎所有点处的典型行为。
• 分析具有指定逼近指数的点集的豪斯多夫维数，特别是当 w > 1/ŵ(ᵗA) 时的情形。

提出的方法

• 引入两个新指数：w(A,θ) 定义为满足 ||Ax + θ|| ≤ X⁻ʷ 且 |x| ≤ X 的解对任意大的 X 均存在的 w 的上确界。
• 将均匀指数 ŵ(A,θ) 定义为上述不等式对所有充分大的 X 均成立的 w 的上确界。
• 应用贝尔-康泰利引理，证明对 Mₙ,ₘ(ℝ) 中几乎所有矩阵 A，有 w(A) = ŵ(A) = m/n。
• 利用 A 与 ᵗA 之间的对偶性，推导出下界：w(A,θ) ≥ 1/ŵ(ᵗA) 且 ŵ(A,θ) ≥ 1/w(ᵗA)。
• 运用豪斯多夫–康泰利引理，对具有高逼近指数的点集的豪斯多夫维数进行上界估计。
• 通过显式构造 ||Ax + θ|| 的下界，证明 w(A,θ) 不可能超过某一阈值。

实验结果

研究问题

• RQ1 非齐次逼近指数 w(A,θ) 与中转置矩阵的均匀齐次逼近指数 ŵ(ᵗA) 之间的确切关系是什么？
• RQ2 能否通过使用均匀指数来改进丢番图逼近中的经典传递定理？
• RQ3 当 w > 1/ŵ(ᵗA) 时，满足 w(A,θ) ≥ w 的点集 {θ ∈ ℝⁿ} 的豪斯多夫维数是多少？
• RQ4 w(A,θ) 的典型行为与均匀指数 ŵ(ᵗA) 相比如何？

主要发现

• 对几乎所有 θ ∈ ℝⁿ，非齐次指数 w(A,θ) 满足 w(A,θ) ≥ 1/ŵ(ᵗA)，且等式几乎处处成立。
• 均匀非齐次指数 ŵ(A,θ) 满足 ŵ(A,θ) ≥ 1/w(ᵗA)，且对几乎所有 θ 成立等式。
• 当 w > 1/ŵ(ᵗA) 时，集合 {θ ∈ ℝⁿ : w(A,θ) ≥ w} 的勒贝格测度为零，且豪斯多夫维数严格小于 n。
• 当 w > 1/ŵ(ᵗA) 时，集合 {θ ∈ ℝⁿ : w(A,θ) ≥ w} 的豪斯多夫维数上界为 n − 1 + 1/(δ + 1)，其中 δ = (wŵ(ᵗA) − 1)/(2 + w + 1/ŵ(ᵗA))。
• 当 A 为列矩阵时，集合 {θ ∈ ℝⁿ : w(A,θ) ≥ w} 的豪斯多夫维数为 1/w，其中 w ≥ 1。
• 当 A = (ξ) 时，集合 {θ ∈ ℝ : w((ξ),θ) ≥ w} 的豪斯多夫维数为 1/w，其中 w ≥ 1，与已知结果一致。