[论文解读] Exposing and exploiting structure: optimal code generation for high-order finite element methods

Miklós Homolya, Robert C. Kirby+1 more|arXiv (Cornell University)|Nov 7, 2017

Advanced Numerical Methods in Computational Mathematics参考文献 4被引用 17

一句话总结

本论文提出 FInAT，一个更智能的有限元库，可暴露高阶有限元的结构特性，使 Firedrake 中的 Two-Stage Form Compiler (TSFC) 能够自动应用求和因子化（sum factorization）及其他优化。结果是在立方体单元上，对连续、不连续、H(div) 和 H(curl) 元素实现了高阶有限元组装的最优算法复杂度，性能接近理想水平。

ABSTRACT

Code generation based software platforms, such as Firedrake, have become popular tools for developing complicated finite element discretisations of partial differential equations. We extended the code generation infrastructure in Firedrake with optimisations that can exploit the structure inherent to some finite elements. This includes sum factorisation on cuboid cells for continuous, discontinuous, H(div) and H(curl) conforming elements. Our experiments confirm optimal algorithmic complexity for high-order finite element assembly. This is achieved through several novel contributions: the introduction of a more powerful interface between the form compiler and the library providing the finite elements; a more abstract, smarter library of finite elements called FInAT that explicitly communicates the structure of elements; and form compiler algorithms to automatically exploit this exposed structure.

研究动机与目标

• 解决高阶下手写谱元代码与自动生成有限元代码之间的性能差距。
• 克服 FIAT 的局限性，后者缺乏暴露有限元必要结构特性以支持高级优化的能力。
• 在代码生成流程中实现对有限元数学结构（如张量积结构和求和因子化）的自动利用。
• 通过自动化、形式编译器驱动的优化，实现高阶有限元组装的最优算法复杂度。
• 通过消除昂贵的矩阵组装过程，实现高阶有限元方法中高效矩阵自由算子应用。

提出的方法

• 设计并实现 FInAT，一个全新的有限元库，通过一种新颖且更丰富的接口显式暴露有限元的结构特性（如张量积结构）。
• 扩展 TSFC 形式编译器，以检测并利用来自 FInAT 有限元的结构信息，实现在六面体单元上自动应用求和因子化。
• 在 TSFC 中引入一种新的编译模式——“谱模式”（spectral mode），该模式对高阶有限元应用结构感知的循环变换与代码生成。
• 在共点积分点处实现对积分的感知评估，以降低计算成本而不损失精度。
• 开发并集成一种新的代码生成流水线，从 UFL 弱形式生成高度优化的 C 内核，利用来自 FInAT 的结构洞察。
• 通过与基于 FIAT 的编译及手写优化谱代码的对比基准测试，验证其最优性。

实验结果

研究问题

• RQ1 高阶有限元的结构特性是否可以以一种使形式编译器能够自动优化的方式暴露？
• RQ2 在高阶 FEM 的代码生成框架中，求和因子化及其他优化能在多大程度上实现自动应用？
• RQ3 通过新库接口（FInAT）暴露有限元结构，是否能实现在有限元组装中达到最优算法复杂度？
• RQ4 新代码生成流水线在高多项式阶次下的性能与手写优化谱元代码相比如何？
• RQ5 在不进行昂贵矩阵组装的情况下，矩阵自由算子应用是否能在高阶 FEM 中实现最优性能？

主要发现

• 新 FInAT 库成功暴露了有限元的结构特性（如张量积结构），使此前仅在手写代码中可行的高级优化成为可能。
• TSFC 的“谱模式”在六面体单元上实现了高阶有限元组装的最优算法复杂度，性能达到或超过手写优化的谱代码。
• 新流水线中的矩阵自由算子应用在多项式阶次上表现出高效扩展性，每自由度的计算成本在阶次 8–10 范围内保持近似恒定。
• 使用 FIAT 处理高阶有限元时，内核大小超过 100MB，导致编译不可行；而基于 FInAT 的编译仍保持高效。
• 形式编译时间开销极小——对于复杂超弹性模型，编译时间低于 6 秒，使该流水线在实际应用中具备可行性。
• TSFC 中的谱模式优于普通模式和咖啡模式（coffee mode），建议作为所有情况的默认模式，即使在低多项式阶次下也适用。