[论文解读] Exposing boundary points of strongly pseudoconvex subvarieties in complex spaces

Fusheng Deng, John Erik Fornæss+1 more|arXiv (Cornell University)|Jul 10, 2016

Holomorphic and Operator Theory参考文献 7被引用 4

一句话总结

本文证明了复空间中强拟凸子流形的边界点可通过在该点邻域外与恒等映射任意接近的双全纯映射，被全局暴露到给定的实超曲面上。关键贡献是在 $\mathbb{C}^n$ 中有界强拟凸区域的参数化暴露定理，表明任何边界点均可通过 $C^1$-小的全纯自同构映射至严格凸边界点，该结果在复分析的全局几何与凸性研究中具有应用价值。

ABSTRACT

We prove that all locally exposable points in a Stein compact in a complex space can be exposed along a given curve to a given real hypersurface. Moreover, the exposing map for a boundary point can be sufficiently close to the identity map outside any fixed neighborhood of the point. We also prove a parametric version of this result for bounded strongly pseudoconvex domains in $\mathbb C^n$. For a bounded strongly pseudoconvex domain in $\mathbb C^n$ and a given boundary point of it, we prove that there is a global coordinate change on the closure of the domain which is arbitrarily close to the identity map with respect to the $C^1$-norm and maps the boundary point to a strongly convex boundary point.

研究动机与目标

• 证明在复空间中 Stein 紧致集的局部可暴露边界点可通过在该点邻域外与恒等映射接近的双全纯映射被全局暴露到给定的实超曲面上。
• 建立 $\mathbb{C}^n$ 中有界强拟凸区域的参数化暴露映射构造。
• 证明任何有界强拟凸区域的边界点均可通过 $C^1$-小的全纯自同构映射至严格凸边界点。
• 将暴露映射构造推广至更一般的复空间，包括 1-凸空间和具有密度性质的 Stein流形。

提出的方法

• 利用 Andersén-Lempert 理论将局部暴露映射近似为全局全纯自同构。
• 构造一个保持纤维的全纯映射同伦，使区域在变形过程中保持边界点的暴露性质。
• 应用 $C^1$-逼近技术，确保暴露映射在该点邻域外一致接近恒等映射。
• 使用紧支集向量场定义一个保持区域结构的全局同伦，远离被暴露点处保持不变。
• 通过截断函数实现径向延拓，将区域映射至 $\mathbb{C}^n$ 中的大球面，确保像点位于球面上。
• 利用 $h$-cobordism 定理与微分拓扑方法，证明当 $n=2$ 或 $n>2$ 时，强拟凸区域的闭包微分同胚于单位球。

实验结果

研究问题

• RQ1 在复空间中，是否每个 Stein 紧致集的局部可暴露边界点均可通过在该点邻域外与恒等映射接近的双全纯映射被全局暴露到给定的实超曲面上？
• RQ2 是否可以构造一个有界强拟凸区域在 $\mathbb{C}^n$ 中的全局 $C^1$-小全纯自同构，使得给定边界点被映射至严格凸边界点？
• RQ3 暴露映射能否扩展为以边界点为参数的连续映射族，同时保持暴露条件与 $C^1$-接近恒等映射？
• RQ4 在何种条件下，暴露映射可被选为 $\mathbb{C}^n$ 的全纯自同构而非仅局部双全纯映射？
• RQ5 边界点的全局暴露是否意味着区域的几何在具体几何意义上等价于严格凸区域？

主要发现

• 对任意 Stein 紧致集 $K\subset X$ 中的局部可暴露点 $\zeta$，存在一个双全纯映射 $f$，使得 $f(\zeta)$ 被暴露于给定的实超曲面 $H$ 上，且对任意给定的 $\zeta$ 的邻域 $V'$，$f$ 在 $K\setminus V'$ 上与恒等映射 $\epsilon$-接近。
• 在 $\mathbb{C}^n$ 中，若 $K$ 是多项式凸的，则暴露映射 $f$ 可取为 $\mathbb{C}^n$ 的全纯自同构。
• 对任意有界强拟凸区域 $D\subset\mathbb{C}^n$，存在一个 $C^1$-小的全纯自同构 $F$，使得 $F(\zeta)$ 是 $F(D)$ 的严格凸边界点，且满足 $\|F - \mathrm{id}\|_{C^1(\overline{D})} < \epsilon$。
• 对于从 $\partial D$ 到大球面 $S_R$ 的纤维保持族曲线 $\gamma_\zeta$，参数化暴露定理成立，确保与恒等映射的 $C^1$-一致接近。
• 若 $\overline{D}$ 是多项式凸的，则在参数设定下，暴露映射可被选为 $\mathbb{C}^n$ 的全纯自同构。
• 当 $n=2$ 或 $n>2$ 时，具有光滑边界的一有界强拟凸区域的闭包微分同胚于闭单位球，意味着其与严格凸区域在拓扑上等价。