[论文解读] Expressing an observer in preferred coordinates by transforming an injective immersion into a surjective diffeomorphism

Pauline Bernard, Vincent Andrieu+1 more|arXiv (Cornell University)|Sep 16, 2015

Adaptive Control of Nonlinear Systems参考文献 13被引用 25

一句话总结

本文提出了一种方法，通过坐标增强和函数扩展，将单射浸入变换为满射微分同胚，从而在原始系统的相同坐标系中表达观测器动态。关键贡献在于提出了一种构造性方法，显式定义一个微分同胚，使观测器可直接实现而无需求解隐式方程，同时保持收敛性特性。

ABSTRACT

When designing observers for nonlinear systems, the dynamics of the given system and of the designed observer are usually not expressed in the same coordinates or even have states evolving in different spaces. In general, the function, denoted $\ au$ (or its inverse, denoted $\ au^*$) giving one state in terms of the other is not explicitly known and this creates implementation issues. We propose to round this problem by expressing the observer dynamics in the the same coordinates as the given system. But this may impose to add extra coordinates, problem that we call augmentation. This may also impose to modify the domain or the range of the augmented" $\ au$ or $\ au^*$, problem that we call extension. We show that the augmentation problem can be solved partly by a continuous completion of a free family of vectors and that the extension problem can be solved by a function extension making the image of the extended function the whole space. We also show how augmentation and extension can be done without modifying the observer dynamics and therefore with maintaining convergence.Several examples illustrate our results.

研究动机与目标

• 解决观测器状态估计在与系统动态不同坐标系中的挑战。
• 消除对隐式、计算成本较高的基于优化的映射（例如最小化或饱和）在状态重构中的依赖。
• 通过显式微分同胚，使观测器动态能直接在系统偏好坐标系中表达。
• 在坐标变换过程中保持观测器的收敛性特性。

提出的方法

• 引入一种基于自由向量族连续补全的坐标增强技术，以扩展观测器状态空间。
• 通过微分同胚（diffeotropy）实现函数扩展，将逆映射的定义域扩展至整个状态空间。
• 构造一个全局微分同胚 τₑ，使其从观测器状态空间到系统状态空间为满射。
• 利用Brouwer不变性定理和光滑延拓定理（例如来自[15]）确保扩展映射的光滑性与微分同胚性质。
• 确保扩展后的微分同胚 τₑ 在感兴趣的紧集上与原始映射 τ 一致，从而保持观测器收敛性。
• 利用光滑李雅普诺夫函数和紧致吸引子的存在性，通过水平集分析构造所需的微分同胚。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否在不改变观测器动态或收敛性的前提下，将观测器状态空间到系统状态空间的单射浸入变换为满射微分同胚？
• RQ2 如何在保持光滑性与微分同胚性质的前提下，将逆映射 τ* 全局扩展？
• RQ3 在何种条件下可显式构造一个微分同胚 τₑ，使观测器动态能以系统偏好坐标系表达？
• RQ4 坐标增强与函数扩展能否以保持观测器收敛性的方式完成？
• RQ5 紧致吸引子与光滑李雅普诺夫函数在实现局部微分同胚的全局扩展中起什么作用？

主要发现

• 可构造一个全局 C²-微分同胚 τₑ，将其原始单射浸入 τ* 扩展为从 R^m 到 R^m 的满射映射，从而确保完整状态重构。
• 该扩展通过一个匹配原始映射在紧集 K 上的微分同胚 Fₑ 实现，从而保持观测器收敛性。
• 该方法使观测器动态能直接在系统偏好坐标系中表达，而无需求解隐式方程或依赖优化方法。
• 该构造保持了原始观测器动态，确保在新坐标表示下收敛性得以维持。
• 该方法适用于高增益观测器和非线性Luenberger观测器，示例表明其在如未知频率谐振子等系统中具有可行性。
• 理论保证基于光滑李雅普诺夫函数和拓扑工具（如Brouwer不变性定理）以及 C²-微分同胚的延拓。