[论文解读] Expressing Combinatorial Optimization Problems by Systems of Polynomial Equations and the Nullstellensatz

Jesús A. De Loera, J. Lee+2 more|ArXiv.org|Jun 5, 2007

Graph Labeling and Dimension Problems参考文献 35被引用 15

一句话总结

本文提出了用于组合优化问题（如寻找最长圈、最大平面子图和最小边着色）的新多项式系统编码方法，通过在复数或实数域上建模为零维系统。关键贡献在于证明：对于所有不超过12个顶点的非3-可着色图，其非3-可着色性的希尔伯特零点定理证书的最小次数被限制在四次以内，表明对许多此类实例，不存在解的短证明是存在的。

ABSTRACT

Systems of polynomial equations over the complex or real numbers can be used to model combinatorial problems. In this way, a combinatorial problem is feasible (e.g. a graph is 3-colorable, hamiltonian, etc.) if and only if a related system of polynomial equations has a solution. In the first part of this paper, we construct new polynomial encodings for the problems of finding in a graph its longest cycle, the largest planar subgraph, the edge-chromatic number, or the largest k-colorable subgraph. For an infeasible polynomial system, the (complex) Hilbert Nullstellensatz gives a certificate that the associated combinatorial problem is infeasible. Thus, unless P = NP, there must exist an infinite sequence of infeasible instances of each hard combinatorial problem for which the minimum degree of a Hilbert Nullstellensatz certificate of the associated polynomial system grows. We show that the minimum-degree of a Nullstellensatz certificate for the non-existence of a stable set of size greater than the stability number of the graph is the stability number of the graph. Moreover, such a certificate contains at least one term per stable set of G. In contrast, for non-3- colorability, we found only graphs with Nullstellensatz certificates of degree four.

研究动机与目标

• 为最长圈、最大平面子图和边着色等困难的组合优化问题开发新的多项式系统编码。
• 研究这些问题不可行实例的希尔伯特零点定理证书的次数。
• 在假设 P ≠ NP 的前提下，确定此类证书的最小次数是否随问题规模增长。
• 探索图论中稳定集与零点定理证书之间的结构性关系。
• 通过实验检验非3-可着色图是否需要高次零点定理证书，或是否低次证书（例如四次）已足够。

提出的方法

• 构建编码图中存在最长圈、最大平面子图或k-可着色子图的零维多项式方程组。
• 使用变量表示节点和边的状态（例如，y_i 表示节点 i 属于一个圈），并通过多项式恒等式施加邻接性和基数约束。
• 应用希尔伯特零点定理，当无解存在时，使用次数作为证明复杂度的度量，来证明组合问题的不可行性。
• 利用计算代数系统，为非3-可着色图搜索最小次数的零点定理证书。
• 使用概率线性代数算法，阈值 p = 0.4，评估可行性并指导证书搜索。
• 分析证书的结构性质，特别是其项数和次数，与稳定集及图族（如花形图和克内泽尔图）的关系。

实验结果

研究问题

• RQ1 在假设 P ≠ NP 的前提下，非3-可着色性的零点定理证书的最小次数是否随图的大小增长？
• RQ2 图的稳定性数与非存在大于该数的稳定集的零点定理证书次数之间的确切关系是什么？
• RQ3 是否可以系统地构造非3-可着色图的低次零点定理证书（例如四次）？
• RQ4 所有顶点数不超过12的非3-可着色图是否都具有四次的零点定理证书，如实验观察所示？
• RQ5 零点定理证书中的项数与图中稳定集的数量之间有何关系？

主要发现

• 对于不存在大于稳定性数的稳定集的零点定理证书，其最小次数恰好等于该稳定性数本身。
• 每个此类证书中，每个稳定集至少对应一个项，表明存在直接的组合对应关系。
• 在测试的所有不超过12个顶点的非3-可着色图中（包括金图、格罗茨施图、克内泽尔图和花形图），最小次数的零点定理证书恰好为四次。
• 在所测试的图族中未发现证书次数超过四次的非3-可着色图，表明非3-可着色性的短证明是普遍存在的。
• 证书中的项数随稳定集数量的增长而增长，证实了证书复杂度与图结构之间存在强烈关联。
• 实验结果支持如下猜想：尽管某些难题可能需要高次证书，但许多实例（尤其是小规模实例）具有低次证明。