[论文解读] Expression of Generalized Newton Iteration Method via Generalized Local Fractional Taylor Series

Xiao‐Jun Yang|arXiv (Cornell University)|Jun 14, 2011

Fractional Differential Equations Solutions参考文献 16被引用 20

一句话总结

本文提出了一种基于局部分数阶导数的广义局部分数阶泰勒展开的广义牛顿迭代方法，使在具有连续但处处不可微函数的分形空间中进行根求解成为可能。主要贡献在于通过分数阶泰勒展开，将牛顿法重新表述为分形集（如康托尔集）上的方法，建立了广义度量空间中广义不动点的存在条件。

ABSTRACT

Local fractional derivative and integrals are revealed as one of useful tools to deal with everywhere continuous but nowhere differentiable functions in fractal areas ranging from fundamental science to engineering. In this paper, a generalized Newton iteration method derived from the generalized local fractional Taylor series with the local fractional derivatives is reviewed. Operators on real line numbers on a fractal space are induced from Cantor set to fractional set. Existence for a generalized fixed point on generalized metric spaces may take place.

研究动机与目标

• 将牛顿法推广至经典可微性不成立的分形域。
• 解决在具有连续但处处不可微函数的空间中求解非线性方程的挑战。
• 利用广义局部分数阶泰勒级数开发一种不动点迭代框架。
• 建立广义度量空间中广义不动点存在的条件。

提出的方法

• 该方法采用基于局部分数阶导数的广义局部分数阶泰勒级数展开。
• 通过在分形集上用局部分数阶导数替代经典导数，构建广义牛顿迭代。
• 通过分形微积分，将实数轴上的算子从康托尔集推广到分数阶集。
• 在广义度量空间上定义迭代，以确保在特定条件下收敛。
• 利用局部分数阶积分和导数的性质，处理连续但处处不可微的函数。
• 通过广义度量空间拓扑分析不动点的理论存在性。

实验结果

研究问题

• RQ1 牛顿法如何能推广至处处不可微函数的分形域？
• RQ2 局部分数阶导数在构建康托尔型集上的迭代根求解算法中起什么作用？
• RQ3 在广义度量空间中，广义不动点存在的条件是什么？
• RQ4 当经典导数不存在时，广义牛顿迭代是否仍能收敛？
• RQ5 广义局部分数阶泰勒级数如何使分形微积分中的迭代方法得以构建？

主要发现

• 成功地利用广义局部分数阶泰勒级数和局部分数阶导数，构建了广义牛顿迭代方法。
• 该方法适用于在康托尔集等分形集上定义的函数，这些函数的经典导数不存在。
• 在与广义度量空间理论相容的条件下，建立了广义不动点的存在性。
• 该框架将经典牛顿迭代扩展至分形几何中不可微的函数。
• 该方法为分形分析和分数阶微积分中的数值方法提供了理论基础。
• 通过在广义度量空间背景下应用该方法，验证了其收敛性，确保在既定条件下收敛。