[论文解读] Expressiveness modulo Bisimilarity of Regular Expressions with Parallel Composition (Extended Abstract)

Muller, T. I.M., Van Tilburg, Paul+2 more|arXiv (Cornell University)|Nov 29, 2010

Formal Methods in Verification被引用 7

一句话总结

本文研究了在 bisimilarity 模下扩展了并行组合操作的正则表达式的表达能力。证明了添加纯粹交错执行会增加表达能力，而进一步以 ACP 风格的并行组合与封装替代之，则可实现所有有限自动机（同构意义下）的完全表达能力——为 Kleene 定理提供了过程理论上的对应。

ABSTRACT

The languages accepted by finite automata are precisely the languages denoted by regular expressions. In contrast, finite automata may exhibit behaviours that cannot be described by regular expressions up to bisimilarity. In this paper, we consider extensions of the theory of regular expressions with various forms of parallel composition and study the effect on expressiveness. First we prove that adding pure interleaving to the theory of regular expressions strictly increases its expressiveness up to bisimilarity. Then, we prove that replacing the operation for pure interleaving by ACP-style parallel composition gives a further increase in expressiveness. Finally, we prove that the theory of regular expressions with ACP-style parallel composition and encapsulation is expressive enough to express all finite automata up to bisimilarity. Our results extend the expressiveness results obtained by Bergstra, Bethke and Ponse for process algebras with (the binary variant of) Kleene's star operation.

研究动机与目标

• 确定在 bisimilarity 模下添加并行组合操作如何影响正则表达式的表达能力。
• 建立不同并行组合机制扩展的正则表达式之间表达能力的严格层次结构。
• 证明 ACP 风格的并行组合与封装足以在同构意义下表达所有有限自动机。
• 提供一种将任意有限自动机构造性地转换为 ACP∗0,1(A,γ) 表达式的有效方法。

提出的方法

• 刻画由正则表达式和基于交错的表达式所表示的有限自动机中的强连通分量（SCCs），识别出口转移的结构性约束。
• 使用基于控制的编码方法，引入进入/离开动作，并通过握手通信函数 γ 来建模 ACP 风格的并行组合。
• 通过为每个状态 si 关联一个进程 pi，使用 1 表示成功终止，∂C 表示封装，为任意有限自动机 F 构造 ACP∗0,1(A,γ) 表达式 pF。
• 定义表达式 pi = 1·enteri·(∑k∈Ki,i ak)*·(∑j≠i ∑k∈Ki,j leavek,i + (1 if si↓)) * 以建模状态转移与控制流。
• 证明所有 pi 的并行组合经 ∂C 封装后，生成的进程与原始自动机 F 同构。
• 利用该同构关系，证明 ACP∗0,1(A,γ) 对有限自动机具有完全表达能力，即使在存在中间终止的情况下亦成立。

实验结果

研究问题

• RQ1 在正则表达式中添加纯粹交错是否会在 bisimilarity 模下提升其表达能力？
• RQ2 ACP 风格的并行组合结合通信与封装是否能表达所有有限自动机（同构意义下）？
• RQ3 在正则表达式与基于交错的表达式中，对 SCC 的出口转移所施加的结构性约束是否足以刻画其表达能力？
• RQ4 在 ACP 风格的扩展中，封装是否为实现完全表达能力所必需？
• RQ5 能否严格确立表达能力层次 BPA∗0,1(A) ≺ PA∗0,1(A) ≺ ACP∗0,1(A,γ)？

主要发现

• 在正则表达式中添加纯粹交错会严格提升其在 bisimilarity 模下的表达能力，因为它能够表示违反标准正则表达式中出口转移约束的自动机。
• 将交错替换为 ACP 风格的并行组合可进一步提升表达能力，使得能够构造出违反交错系统中 SCC 结构特性的自动机。
• 具有 ACP 风格并行组合与封装的正则表达式理论，其表达能力足以在同构意义下表示每一个有限自动机，因此也适用于 bisimilarity 意义下的表示。
• 原始自动机 F 与表达式 pF 所表示的自动机之间的同构关系，通过基于控制的编码方法（引入进入/离开动作）与握手通信函数 γ 显式构造而成。
• 常量 1（表示成功终止）与一元 Kleene 星的引入，使得即使在存在中间终止的情况下，也能实现完全表达能力，这使得先前的方法面临复杂性挑战。
• 封装被推测为必不可少：若移除 ∂H，表达能力可能显著降低，如第 4 节中一个关键示例所示，其中涉及封装通信的进程。