[论文解读] Extended B-Spline Collocation Method For KdV-Burgers Equation

Özlem Ersoy Hepson, Alper Korkmaz+1 more|arXiv (Cornell University)|Jan 11, 2017

Nonlinear Waves and Solitons参考文献 26被引用 6

一句话总结

本文提出了一种结合Crank-Nicolson时间离散化的扩展三次B样条配置方法，用于求解KdV-Burgers方程的初边值问题。通过变量替换消除三阶导数项，并求解得到的耦合系统，该方法实现了高精度，与先前方法相比，最大范数误差至少降低了两位小数。

ABSTRACT

The extended form of the classical polynomial cubic B-spline function is used to set up a collocation method for some initial boundary value problems derived for the Korteweg-de Vries-Burgers equation. Having nonexistence of third order derivatives of the cubic B-splines forces us to reduce the order of the term uxxx to give a coupled system of equations. The space discretization of this system is accomplished by the collocation method following the time discretization with Crank-Nicolson method. Two initial boundary value problems, one having analytical solution and the other is set up with a non analytical initial condition, have been simulated by the proposed method.

研究动机与目标

• 开发一种用于求解KdV-Burgers方程初边值问题的高精度数值方法。
• 通过将方程转化为耦合系统，解决经典三次B样条中三阶导数不存在的挑战。
• 采用扩展三次B样条进行空间离散化，Crank-Nicolson方法进行时间积分，实现配置方法。
• 在具有解析与非解析初值的问题上验证该方法，展示其精度与守恒性质。
• 研究扩展参数λ对解精度与稳定性的影响。

提出的方法

• 通过变量替换消除KdV-Burgers方程中的三阶导数项，得到一个耦合方程组。
• 使用扩展三次B样条作为基函数进行空间配置，即使缺乏三阶导数，也能实现高阶逼近。
• 采用Crank-Nicolson方法进行时间离散化，确保二阶精度与无条件稳定性。
• 通过预测-校正方法线性化非线性项，实现在每个时间步长的迭代求解。
• 通过在每个时间层面将给定值直接代入配置方程，实现边界条件的直接施加。
• 在每个时间步长迭代求解得到的代数方程组，以推进时间上的解。

实验结果

研究问题

• RQ1 尽管缺乏三阶导数，扩展三次B样条能否有效逼近KdV-Burgers方程的解？
• RQ2 所提出的配置方法在解析与非解析初值条件下，其精度与稳定性表现如何？
• RQ3 扩展参数λ对数值解精度的影响是什么？
• RQ4 该方法在多大程度上能保持质量、动量与能量等守恒量？
• RQ5 与CDQ和PDQ等现有方法相比，该方法在波形形成与传播中的精度如何？

主要发现

• 在相同问题设置下，该方法的最大范数误差比现有的CDQ和PDQ方法至少降低了两位小数。
• 在解析情况下，数值解与精确解高度吻合，最大误差随节点数增加而减小。
• 在t = 800时，前导波到达x = 121.2，高度为1.930，第三波到达x = 97.60，高度为1.703，表明波传播稳定。
• 计算了最低四阶守恒量，其值随时间几乎保持不变，表明该格式具有良好的守恒性质。
• 扩展参数λ显著影响精度，最优取值可提升收敛性并降低误差。
• 该方法成功模拟了波的分裂及至t = 600时形成多达九个显著波的演化，与先前研究结果一致。