[论文解读] Extended Backward Stochastic Volterra Integral Equations, Quasilinear Parabolic Equations, and Feynman-Kac Formula

Hanxiao Wang|arXiv (Cornell University)|Aug 20, 2019

Stochastic processes and financial applications参考文献 36被引用 5

一句话总结

本文通过扩展的倒向随机伏尔泰拉积分方程（EBSVIEs）为非局部拟线性抛物型PDEs建立了概率表示。利用马利万微积分证明了EBSVIE解的适定性与正则性，并推导出一个广义的非线性费曼-卡普公式，将帕尔杜-彭的结果推广至退化及时间不一致的情形。

ABSTRACT

In this paper, we establish the relationship between backward stochastic Volterra integral equations (BSVIEs, for short) and a kind of non-local quasilinear (and possibly degenerate) parabolic equations. We first introduce the extended backward stochastic Volterra integral equations (EBSVIEs, for short). Under some mild conditions, we establish the well-posedness of EBSVIEs and obtain some regularity results of the adapted solution to the EBSVIEs via Malliavin calculus. We show that a given function expressed in terms of the solution to the EBSVIEs solves a certain system of non-local parabolic partial differential equations (PDEs, for short), which generalizes the famous nonlinear Feynman-Kac formula in Pardoux{Peng [21].

研究动机与目标

• 建立扩展的倒向随机伏尔泰拉积分方程（EBSVIEs）与非局部拟线性抛物型PDEs之间的联系。
• 在较弱条件下，利用马利万微积分证明EBSVIE适定解的适定性与正则性。
• 将帕尔杜-彭的非线性费曼-卡普公式推广至包含时间不一致及可能退化的扩散系数的情形。
• 通过EBSVIEs为一类非局部PDEs的经典解提供概率表示。
• 将经典的四步法推广至伏尔泰拉框架，通过随机方程求解非局部PDEs。

提出的方法

• 将EBSVIEs引入为BSDEs与BSVIEs的推广，其中生成器依赖于时间s与r处的解。
• 将适定解定义为满足伊藤意义下积分方程的渐进可测随机场(Y(t,s), Z(t,s))。
• 应用马利万微积分推导解的正则性性质，包括时间与空间上的霍尔德连续性。
• 采用时间离散化方案，利用分段区间逼近解并应用控制收敛定理。
• 运用科莫戈罗夫连续性定理建立解及其导数的样本路径正则性。
• 通过极限过程推导出函数Θ(t,s,x) = Y(t,s)所满足的PDE，表明其求解一个具有非马尔可夫结构的非局部拟线性PDE。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否为由倒向随机伏尔泰拉积分方程驱动的非局部拟线性抛物型PDEs建立广义的费曼-卡普公式？
• RQ2 在何种条件下，EBSVIE的适定解是适定且足够正则的？
• RQ3 EBSVIE的解如何表示具有退化扩散系数的非局部PDE的经典解？
• RQ4 马利万微积分在建立EBSVIE解正则性方面起到何种作用？
• RQ5 EBSVIE框架在何种意义上将经典四步法从前向-后向SDEs推广至非马尔可夫、非局部PDEs？

主要发现

• 在较弱条件下，EBSVIE (1.1) 是适定的，适定解(Y, Z)在指定类中存在且唯一。
• 证明了解Y(t,s)在时间和空间上具有指数为1/2 - 1/p - ε（任意ε > 0）的霍尔德连续性。
• 函数Θ(t,s,x) = Y(t,s)满足一个涉及生成器g与扩散系数σ的非局部拟线性抛物型PDE (5.1)。
• EBSVIE的解为PDE的经典解提供了概率表示，广义化了非线性费曼-卡普公式。
• 即使σ退化且关于x具有线性增长，该结果依然成立，扩展了以往要求一致椭圆性的结果。
• 经典解Θ(t,s,x)属于C^{0,1,2}(Δ[0,T]×ℝ^d;ℝ^m)，确认其光滑性及作为PDE解的有效性。