[论文解读] Extended Caffarelli-Kohn-Nirenberg inequalities, and remainders, stability, and superweights for $L^{p}$-weighted Hardy inequalities

Michael Ruzhansky, Durvudkhan Suragan+1 more|arXiv (Cornell University)|Jan 5, 2017

Nonlinear Partial Differential Equations被引用 5

一句话总结

该论文通过用径向导数替代全梯度，扩展了经典的Caffarelli-Kohn-Nirenberg不等式，在齐次群上建立了$L^p$-加权Hardy不等式的精确常数和余项估计。引入了形式为$\frac{(a+b|x|^α)^{\beta/p}}{|x|^m}$的新超权函数，推导出临界对数型Hardy不等式，并通过在齐次李群设定下迭代分部积分和Hölder不等式，证明了具有精确常数的高阶不等式。

ABSTRACT

In this paper we give an extension of the classical Caffarelli-Kohn-Nirenberg inequalities: we show that for $1<p,q<\\infty$, $0<r<\\infty$ with $p+q\\geq r$, $\\delta\\in[0,1]\\cap\\left[\\frac{r-q}{r},\\frac{p}{r}\ ight]$ with $\\frac{\\delta r}{p}+\\frac{(1-\\delta)r}{q}=1$ and $a$, $b$, $c\\in\\mathbb{R}$ with $c=\\delta(a-1)+b(1-\\delta)$, and for all functions $f\\in C_{0}^{\\infty}(\\mathbb{R}^{n}\\backslash\\{0\\})$ we have $$ \\||x|^{c}f\\|_{L^{r}(\\mathbb{R}^{n})} \\leq \\left|\\frac{p}{n-p(1-a)}\ ight|^{\\delta} \\left\\||x|^{a}\ abla f\ ight\\|^{\\delta}_{L^{p}(\\mathbb{R}^{n})} \\left\\||x|^{b}f\ ight\\|^{1-\\delta}_{L^{q}(\\mathbb{R}^{n})} $$ for $n\ eq p(1-a)$, where the constant $\\left|\\frac{p}{n-p(1-a)}\ ight|^{\\delta}$ is sharp for $p=q$ with $a-b=1$ or $p\ eq q$ with $p(1-a)+bq\ eq0$. In the critical case $n=p(1-a)$ we have $$ \\left\\||x|^{c}f\ ight\\|_{L^{r}(\\mathbb{R}^{n})} \\leq p^{\\delta} \\left\\||x|^{a}\\log|x|\ abla f\ ight\\|^{\\delta}_{L^{p}(\\mathbb{R}^{n})} \\left\\||x|^{b}f\ ight\\|^{1-\\delta}_{L^{q}(\\mathbb{R}^{n})}. $$ Moreover, we also obtain anisotropic versions of these inequalities which can be conveniently formulated in the language of Folland and Stein's homogeneous groups. Consequently, we obtain remainder estimates for $L^{p}$-weighted Hardy inequalities on homogeneous groups, which are also new in the Euclidean setting of $\\mathbb{R}^{n}$. The critical Hardy inequalities of logarithmic type and uncertainty type principles on homogeneous groups are obtained. Moreover, we investigate another improved version of $L^{p}$-weighted Hardy inequalities involving a distance and stability estimates. We also establish sharp Hardy type inequalities in $L^{p}$, $1<p<\\infty$, with superweights, i.e. with the weights of the form $\\frac{(a+b|x|^{\\alpha})^{\\frac{\\beta}{p}}}{|x|^{m}}$ allowing for different choices of $\\alpha$ and $\\beta$.

研究动机与目标

• 通过用径向导数替代全梯度，扩展经典Caffarelli-Kohn-Nirenberg不等式，提升其精确度和适用性。
• 在齐次群背景下，推导$L^p$-加权Hardy不等式的余项估计和稳定性界。
• 在齐次群上建立临界对数型Hardy不等式和不确定性原理。
• 引入并分析基于任意齐次准范数及灵活参数$\alpha$、$\beta$、$m$、$a$、$b$的$L^p$-Hardy不等式超权函数，实现更广泛的应用。
• 研究临界与次临界Hardy不等式之间的关系，并通过迭代方法证明高阶版本。

提出的方法

• 使用径向导数$\mathcal{R}f = \frac{x}{|x|} \cdot \nabla f$替代$|\nabla f|$，推导各向异性的$L^p$-加权Hardy不等式，提升精确度和稳定性。
• 在具有齐次维数$Q$的齐次李群$\mathbb{G}$设定下，应用分部积分和Hölder不等式，结合极坐标下的径向积分。
• 引入超权函数$\frac{(a+b|x|^\alpha)^{\beta/p}}{|x|^m}$，其中$a,b>0$，$\alpha,\beta \in \mathbb{R}$，$|x|$为齐次准范数，以推广经典Hardy权函数。
• 通过主不等式的迭代应用，推导涉及$\mathcal{R}^k f$的高阶Hardy型不等式，其精确常数依赖于$Q$、$p$、$m$、$\alpha$、$\beta$。
• 通过在Hölder不等式中使用齐次函数$f(x) = |x|^C$（$C \neq 0$）的等号条件，证明常数的精确性。
• 在$n = p(1-a)$的极限情况下，通过将$|\nabla f|$替换为$|\nabla f| \log |x|$，推导出临界Hardy不等式，以应对紧致性丧失的问题。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否用径向导数替代全梯度，将Caffarelli-Kohn-Nirenberg不等式推广？在此设定下，精确常数是什么？
• RQ2 $L^p$-加权Hardy不等式在齐次群上的余项估计和稳定性界是什么？
• RQ3 在$n = p(1-a)$的极限情况下，如何推导出具有对数权函数的临界Hardy不等式？
• RQ4 $L^p$-Hardy不等式在超权函数$\frac{(a+b|x|^\alpha)^{\beta/p}}{|x|^m}$下，其精确性和有效性成立的条件是什么？
• RQ5 具有径向导数的高阶Hardy不等式与一阶情形有何关系？其精确常数是什么？

主要发现

• 当$n \neq p(1-a)$时，不等式$\||x|^c f\|_{L^r} \leq \left|\frac{p}{n - p(1-a)}\right|^\delta \||x|^a \mathcal{R}f\|_{L^p}^\delta \||x|^b f\|_{L^q}^{1-\delta}$在给定参数约束下成立，且精确常数为$\left|\frac{p}{n - p(1-a)}\right|^\delta$。
• 在临界情形$n = p(1-a)$下，不等式变为$\||x|^c f\|_{L^r} \leq p^\delta \||x|^a \log|x| \mathcal{R}f\|_{L^p}^\delta \||x|^b f\|_{L^q}^{1-\delta}$，并引入对数校正项。
• 在超权函数不等式中，常数$\frac{Q - pm - p + \alpha\beta}{p}$是精确的，当Hölder不等式对齐次函数$f(x) = |x|^C$取等号时达到。
• 对于齐次群$\mathbb{G}$，高阶不等式$\left[\prod_{j=0}^{k-1} \left(\frac{Q-p}{p} - (m+j)\right)\right] \left\| \frac{(a+b|x|^\alpha)^{\beta/p}}{|x|^{m+k}} f \right\|_{L^p} \leq \left\| \frac{(a+b|x|^\alpha)^{\beta/p}}{|x|^m} \mathcal{R}^k f \right\|_{L^p}$在$\alpha\beta > 0$且$pm \leq Q - p$条件下成立。
• 当$\alpha\beta < 0$且$pm - \alpha\beta \leq Q - p$时，存在一个对偶高阶不等式，其常数为$\frac{Q - p + \alpha\beta}{p} - (m+j)$，证明了该方法在不同参数区域下的鲁棒性。