[论文解读] Extended Hamilton's principle

Jin-Kyu Kim|arXiv (Cornell University)|Apr 2, 2012

Numerical methods for differential equations参考文献 15被引用 5

一句话总结

本文通过混合变分法和雷利耗散函数，将哈密顿原理扩展至包含保守与非保守动力系统的相容初始条件。该方法建立了一个统一的方程推导框架，并发展了一种基于伽辽金法的数值方法，在集中参数系统仿真中展现出良好的稳定性和准确性。

ABSTRACT

Hamilton's principle is extended to have compatible initial conditions to the strong form. To use a number of computational and theoretical benefits for dynamical systems, the mixed variational formulation is preferred in the systems other than particle systems. With this formulation and the Rayleigh's dissipation function, we could have all the pertinent initial/boundary conditions for both conservative and non-conservative dynamical system. Based upon the extension framework of Hamilton's principle, the numerical method for representative lumped parameter models is also developed through applying Galerkin's method to time domain with the discussion of its numerical properties and simulation results.

研究动机与目标

• 将哈密顿原理扩展至适用于保守与非保守系统的相容初始条件。
• 通过混合变分法统一处理动力系统的初始条件与边界条件。
• 将雷利耗散函数引入变分框架，以建模非保守力。
• 开发一种稳定且精确的基于伽辽金法的数值方法，用于集中参数系统的时域仿真。
• 通过代表性模型验证该方法的数值特性与仿真性能。

提出的方法

• 提出一种混合变分原理，通过引入额外的状态变量，实现相容初始条件的处理。
• 将雷利耗散函数整合进变分框架，以建模如粘性阻尼等非保守力。
• 在时域应用伽辽金法对扩展的变分原理进行离散化，导出常微分方程组。
• 采用加权残差技术推导适用于有限元式空间与时间离散化的弱形式。
• 推导出保持变分结构的系统矩阵与时间积分格式。
• 通过基准集中参数模型的数值仿真验证该方法，分析其稳定性和收敛性。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何将哈密顿原理扩展，以确保初始条件与方程强形式之间的一致性？
• RQ2 何种变分形式可实现对保守与非保守动力系统的统一处理？
• RQ3 如何将雷利耗散函数自然地融入包含初始条件的变分框架？
• RQ4 从扩展变分原理导出的基于伽辽金法的时间离散化方法具有何种数值特性？
• RQ5 与标准方法相比，该方法在模拟代表性集中参数系统时表现如何？

主要发现

• 扩展的变分框架成功确保了初始条件与方程强形式之间的一致性。
• 在变分框架中引入雷利耗散函数，实现了对非保守力的相容建模。
• 基于伽辽金法的时间离散化方法在集中参数系统的线性和非线性仿真中表现出良好的数值稳定性和准确性。
• 该方法保持了变分结构，从而呈现出与阻尼物理系统一致的能量衰减行为。
• 仿真结果证实了该方法在各种测试案例中的有效性与鲁棒性，包括具有复杂初始条件的系统。
• 该方法提供了一个统一框架，可从单一变分原理推导出运动方程与数值格式。