[论文解读] Extended Newman-Janis algorithm for rotating and Kerr-Newman de Sitter and anti de Sitter metrics

E. J. Gonzalez de Urreta, M. Socolovsky|arXiv (Cornell University)|Apr 7, 2015

Astrophysical Phenomena and Observations参考文献 1被引用 6

一句话总结

本文通过一种统一的复化方案，将 Newman-Janis 算法扩展至 de Sitter (dS) 和反 de Sitter (AdS) 时空，以统一处理径向坐标幂次，从而生成旋转黑洞解。关键贡献是一个广义公式，将标准 Newman-Janis 中 $ r^{-1} $ 和 $ r^{-2} $ 的替换推广至 $ r^2 $，使得从静态种子度量推导出 Kerr-Newman-dS 和 Kerr-Newman-AdS 度量成为可能，结果与文献中已知解一致。

ABSTRACT

The Newman-Janis algorithm is well known to provide rotating black holes solutions to Einstein's equations from static seeds, through a complexification of a radial and a time coordinates. However, an ambiguity remains for the replacement of the $r^{-1}$ and $r^{-2}$ powers of the radial coordinate. We show here that the two cases are unified by a simple expression which allows its extension to the $r^{2}$ power, characteristic of the de Sitter ($dS$) and anti de Sitter ($AdS$) spacetimes. The formula leads almost automatically to the Kerr and Kerr-Newman-$dS$ and -$AdS$ metrics.

研究动机与目标

• 解决在 de Sitter 和反 de Sitter 时空应用 Newman-Janis 算法时的模糊性问题，因为此时径向依赖为 $ r^2 $ 而非 $ r^{-1} $ 或 $ r^{-2} $。
• 在 Newman-Janis 过程中，通过单一复化方案统一处理径向坐标幂次 ($ r^{-1}, r^{-2}, r^2 $)。
• 利用该广义方法，从静态种子度量推导出 Kerr-Newman-de Sitter 和 Kerr-Newman-anti de Sitter 度量。
• 通过与已知解（如 Ibohal 的结果）的一致性验证该方法，同时与文献中其他方法存在差异。

提出的方法

• 提出广义复化规则：$ r^p \to \frac{(\text{Re}(r))^{p+2}}{|r|^2} $，该规则在 $ p = -1, -2 $ 时退化为已知替换形式，并自然推广至 $ p = 2 $。
• 应用复化径向坐标 $ r \to r' - ib\cos\theta' $，其中 $ r' \in (-\infty, \infty) $，$ b $ 为旋转参数。
• 以静态的 Schwarzschild-AdS 和 Schwarzschild-dS 度量作为种子解，其中 $ f_{SAdS} = 1 - \frac{2M}{r} + \frac{r^2}{a^2} $ 和 $ f_{SdS} = 1 - \frac{2M}{r} - \frac{r^2}{a^2} $。
• 通过复坐标变换与度量重构应用 Newman-Janis 算法，从而在 dS 和 AdS 背景下获得完整的旋转度量。
• 通过在电磁势和度量分量中应用相同的复化规则，引入电荷 $ q $，推导出 Kerr-Newman-dS/AdS 度量。
• 通过验证最终度量与已知解（如 Ibohal）一致，并在 $ \Lambda \to 0 $ 极限下退化为标准 Kerr-Newman 度量，确认其一致性。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何一致地将 Newman-Janis 算法扩展至具有 $ r^2 $ 依赖项的时空（如 de Sitter 和反 de Sitter 时空）？
• RQ2 是否存在一个统一的数学形式，可将 Newman-Janis 复化规则推广至 $ r^{-1}, r^{-2} $ 和 $ r^2 $ 项？
• RQ3 广义复化规则是否能重现已知的旋转 dS 和 AdS 黑洞解（如 Kerr-Newman-dS 和 Kerr-Newman-AdS）？
• RQ4 所得到的度量与文献中其他推导（特别是 Carter、Gibbons & Hawking 以及 Mallett 的工作）相比有何异同？

主要发现

• 广义复化规则 $ r^p \to \frac{(\text{Re}(r))^{p+2}}{|r|^2} $ 统一了 Newman-Janis 算法中 $ r^{-1}, r^{-2}, r^2 $ 项的处理方式。
• 当 $ p = 2 $ 时，该规则给出 $ r^2 \to \frac{r'^4}{|r|^2} $，成功地从静态种子度量生成了 dS 和 AdS 背景下的旋转度量。
• 推导出的 Kerr-Newman-dS/AdS 时空度量与 Ibohal (2006) 的结果一致，证实了与已知结果的一致性。
• 在 $ \Lambda \to 0 $ 极限下，该方法重现了标准 Kerr 和 Kerr-Newman 度量，验证了其与已有解的一致性。
• 显式计算了带电旋转 dS/AdS 情况下的能量-动量张量，结果表明当 $ q \neq 0 $ 时电磁贡献非零，而当 $ q = 0 $ 时则为零。
• 该方法为具有正或负宇宙学常数的时空中生成旋转黑洞解提供了一个系统且统一的框架。