[论文解读] Extended Particles and the Exterior Calculus

R.W. Tucker|arXiv (Cornell University)|Oct 27, 2016

Quantum Chromodynamics and Particle Interactions参考文献 3被引用 5

一句话总结

本文提出了一种统一的、规范不变的古典相对论性扩展物体（点粒子、弦和膜）的微分形式外微分几何表述。通过采用无指标微分几何和重参数化不变作用量，该形式体系从本质上推导出运动方程、约束条件和边界条件，表明该形式体系简化了高维动力学，并自然推广至具有内禀自旋和拓扑结构的系统。

ABSTRACT

These notes were delivered as a series of NIMROD lectures at the Rutherford Appleton Laboratory by the author in February 1976 (RL-76-022). The purpose of these lectures was primarily two-fold: to discuss the classical theory of free point particles, free strings and free membranes from a unified viewpoint; and to present in the process of doing this the rudiments of an intrinsic geometrical calculus that the author has found of immense value in investigating these systems. It is shown how the equations of motion for such classically extended relativistic systems arise in a very simple manner from a principle of stationary action and furthermore how the boundary conditions for finite systems may be derived in a gauge invariant way. Momenta are naturally introduced and the primary constraints that exist in a Hamiltonian description follow simply. Calculations may proceed in an index-free manner until components are required. It is at this stage that one can, if one desires, impose gauge conditions and remove non-independent degrees of freedom. Such methods can be applied in any spacetime of any dimension and metric, and examples are given throughout.

研究动机与目标

• 开发一种使用外微分几何的统一、几何内禀的描述，用于经典相对论性扩展系统——点粒子、弦和膜。
• 建立一种独立于坐标表示的体系，确保动力学中的重参数化和规范不变性。
• 展示运动方程、约束条件和边界条件如何自然地从作用量平稳原理中导出。
• 探索该体系在推广至具有自旋和内禀对称性的系统方面的潜力。
• 通过de Rham理论和Hodge对偶性，为未来在量子场论和拓扑场论中的应用奠定基础。

提出的方法

• 使用外微分形式和在时空子流形上的积分来表述扩展物体的动力学。
• 将作用量平稳原理应用于由时空度量的拉回构造的重参数化不变作用量泛函。
• 利用Hodge星算子和对偶性关联不同次数的微分形式，实现对约束和动量的几何处理。
• 通过作用量变分推导运动方程，得到嵌入函数的偏微分方程。
• 仅在需要时引入规范条件，以在计算中保持内在几何结构。
• 将该形式体系应用于具体情形：具有脉动动力学的球面对称膜，其解可用雅可比椭圆函数表示。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何以一种独立于坐标选择和规范依赖参数化的方式表述相对论性扩展物体的动力学？
• RQ2 外微分几何在统一推导点粒子、弦和膜的运动方程与约束条件中起什么作用？
• RQ3 该形式体系能否自然地容纳高维物体以及自旋或内禀对称性等内禀几何结构？
• RQ4 在此框架中，边界条件和动量如何以规范不变的方式自然出现？
• RQ5 该形式体系对扩展系统量化及拓扑电流描述有何影响？

主要发现

• 扩展物体的运动方程可清晰地从使用微分形式的重参数化不变作用量原理中导出。
• 对于球对称膜，动力学简化为一个可解的常微分方程：$ \frac{R^{2}}{\sqrt{1 - \dot{R}^{2}}} = \text{constant} $，其解以雅可比椭圆函数表示。
• 脉动球面对称膜的半径由下式给出：$ R(\tau) = \left(\frac{4E}{b}\right)^{1/4} \text{cn}\left(\gamma - (4Eb)^{1/4}\tau \big| \frac{1}{\sqrt{2}}\right) $，其中 $ \gamma = K(1/\sqrt{2}) $。
• 该形式体系在哈密顿表述中自然引入动量和初级约束，无需预先规范固定。
• 使用外微分几何可将分量计算推迟到必要时，从而最小化计算复杂度。
• 该框架暗示可通过扩大相空间流形，引入旋量自由度和内禀对称性。