[论文解读] Extended probability theory and quantum mechanics I: non-classical events, partitions, contexts, quadratic probability spaces

Jiří Souček|arXiv (Cornell University)|Aug 2, 2010

Probability and Statistical Research被引用 3

一句话总结

本文通过将事件重新定义为样本空间 Ω 的划分，引入了扩展概率理论（EPT），其中同一划分部分内的元素不可区分。当事件在划分结构上发生冲突时，即产生不相容性，而上下文——兼容事件的最大集合——则恢复经典概率。其主要贡献在于提出了二次概率空间，该空间广义化了柯尔莫哥洛夫的框架，并为将量子力学建模为马尔可夫过程奠定了基础，实现了爱因斯坦关于量子力学作为超越经典概率的随机理论的愿景。

ABSTRACT

In the paper the basic concepts of extended probability theory are introduced. The basic idea: the concept of an event as a subset of Ωis replaced with the concept of an event as a partition. The partition is any set of disjoint non-empty subsets of Ω(i.e. partition=subset+its decomposition). Interpretation: elements inside certain part are indistinguishable, while elements from different parts are distinguishable. There are incompatible events, e.g {{e1},{e2}} and {e1,e2}. This is logical incompatibility analogical to the impossibility to have and simultaneously not to have the which-way information in the given experiment. The context is the maximal set of mutually compatible events. Each experiment has associated its context. In each context the extended probability is reduced to classical probability. Then the quadratic representation of events, partitions and probability measures is developed. At the end the central concept of quadratic probability spaces (which extend Kolmogorov probability spaces) is defined and studied. In the next paper it will be shown that quantum mechanics can be represented as the theory of Markov processes in the extended probability theory (Einstein's vision of QM).

研究动机与目标

• 开发扩展概率理论（EPT）的基础框架，通过将事件重新定义为划分而非子集，广义化经典概率。
• 引入不相容性和上下文的概念，作为解释量子现象（特别是量子实验中的路径信息）的关键。
• 构建广义化柯尔莫哥洛夫概率模型的二次概率空间，使量子力学能够在随机框架内得以表示。

提出的方法

• 将事件重新定义为样本空间 Ω 的划分，其中每个部分包含不可区分的基本事件。
• 不相容事件被定义为由于划分结构冲突而无法共存于同一上下文中的事件，例如在一种划分中区分 e16 和 e20，而在另一种划分中将其视为不可区分。
• 上下文被定义为相互兼容的划分的最大集合，在其中经典概率理论成立。
• 通过在划分上引入运算 (+)，引入二次结构，从而实现事件和概率测度的二次表示。
• 概率测度保持可加性，但事件空间被赋予源自划分分解的二次代数结构。
• 该框架被形式化为二次概率空间，广义化了柯尔莫哥洛夫的概率空间，并支持在后续工作中将量子力学表示为马尔可夫过程。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何重新定义概率论中的事件，以捕捉非经典特征，如不相容性和上下文依赖性？
• RQ2 划分结构在建模诸如路径信息等量子力学现象中起什么作用？
• RQ3 如何构建一种概率理论，使其支持二次事件结构，同时保持概率测度的可加性？
• RQ4 上下文如何在扩展框架中恢复经典概率，它们与实验可实现性有何关系？
• RQ5 量子力学能否在此扩展概率框架内表示为马尔可夫过程，从而实现爱因斯坦关于量子力学作为随机理论的愿景？

主要发现

• 事件被重新定义为样本空间 Ω 的划分，其中同一部分内的元素不可区分，而不同部分的元素可区分。
• 当两个划分在对相同元素的划分方式上发生冲突时，即产生不相容事件，例如在一个划分中区分 e16 和 e20，而在另一个划分中将其视为不可区分。
• 上下文被定义为相互兼容划分的最大集合，在每个上下文中，扩展概率理论退化为经典概率理论。
• 该框架引入了二次概率空间，通过赋予事件源自划分分解的二次代数结构，广义化了柯尔莫哥洛夫的概率空间。
• 概率测度保持可加性，但事件代数由于划分的二次结构而非线性，这使 EPT 与使用可加事件结构的量子测度理论（QMT）相区别。
• 该构造为在扩展概率理论中将量子力学建模为马尔可夫过程提供了基础，从而实现了爱因斯坦关于量子力学作为随机理论的愿景。