[论文解读] Extended real Clifford-Dirac algebra and bosonic symmetries of the Dirac equation with nonzero mass

В. М. Симулик, I.Yu. Krivsky|arXiv (Cornell University)|Aug 21, 2009

Algebraic and Geometric Analysis参考文献 7被引用 6

一句话总结

本文利用8分量旋量引入了256维实 Clifford-Dirac 代数表示，扩展了标准的4分量 Dirac 形式。它构建了 $\text{Cl}^\mathbb{R}(0,8)$ 和 $\text{Cl}^\mathbb{R}(1,7)$ 的实矩阵表示，为质量狄拉克方程引入了新的玻色对称性，并将结果推广至高自旋方程，特别是自旋-3/2粒子。

ABSTRACT

Contemporary presentation of the version 1 demonstrates briefly the development of our investigations and our future goals. The improved free of difficulties in interpretation and printing errors version is presented. The 256-dimensional gamma matrix representations of the Clifford algebra and corresponding representations of SO(10) and SO(1,9) algebras over the field of real numbers are introduced. This turned out to be possible in the space of eight-component spinors, and not for the ordinary four-component Dirac spinors. The proposed mathematical objects allow the generalization of our results, obtained earlier for the standard Dirac equation, for the equations of higher spin and, especially, for the equations, describing the particles with spin 3/2.

研究动机与目标

• 将实 Clifford-Dirac 代数从4分量旋量推广至更高维旋量空间。
• 利用8×8伽马矩阵构造 $\text{Cl}^\mathbb{R}(0,8)$ 和 $\text{Cl}^\mathbb{R}(1,7)$ 的256维实表示。
• 在扩展的代数框架中，使质量狄拉克方程的玻色对称性研究成为可能。
• 为高自旋场方程（特别是自旋-3/2粒子）提供数学基础。
• 通过利用8分量旋量更丰富的结构，克服4分量形式的局限性。

提出的方法

• 构造九个满足 $\Gamma^A\Gamma^B + \Gamma^B\Gamma^A = 2\delta^{AB}$ 的 $8\times8$ 伽马矩阵 $\Gamma^j$，构成实 Clifford 代数。
• 利用泡利矩阵 $\sigma^j$ 和复共轭算子 $\hat{C}$，以分块矩阵形式定义伽马矩阵。
• 通过八个独立生成元（包括 $\hat{C}$ 和 $i$ 的倍数）的所有乘积，推导出256维代数。
• 从 Clifford 代数结构中建立 $\mathfrak{so}(10)$ 和 $\mathfrak{so}(1,9)$ 李代数的表示。
• 在8分量空间中应用 Foldy–Wouthuysen 变换，以提取物理对称性。
• 将完整代数重构为 $\{64\text{Cl}^\mathbb{C}(0,6)\} \cup i\cdot\{64\text{Cl}^\mathbb{C}(0,6)\} \cup \hat{C}\cdot\{64\text{Cl}^\mathbb{C}(0,6)\} \cup i\hat{C}\cdot\{64\text{Cl}^\mathbb{C}(0,6)\}$。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否将实 Clifford-Dirac 代数从4分量旋量扩展至包含8分量表示的更高维旋量空间？
• RQ2 在8分量旋量空间中，$\text{Cl}^\mathbb{R}(0,8)$ 和 $\text{Cl}^\mathbb{R}(1,7)$ 的256维实表示是什么？
• RQ3 这些扩展代数如何为质量狄拉克方程引入新的玻色对称性？
• RQ4 该形式能否推广至描述高自旋粒子，特别是自旋-3/2粒子？
• RQ5 复共轭算子 $\hat{C}$ 在构建完整实 Clifford 代数中起什么作用？

主要发现

• 本文在8分量旋量空间中，利用8×8伽马矩阵构造了256维实 Clifford 代数 $\text{Cl}^\mathbb{R}(0,8)$。
• 该代数包含由八个独立生成元（包括 $\hat{C}$ 和 $i$ 的倍数）的所有乘积构成的256个不同元素。
• 从扩展的 Clifford 代数中导出了 $\mathfrak{so}(10)$ 和 $\mathfrak{so}(1,9)$ 李代数的表示。
• 该构造使得通过逆 Foldy–Wouthuysen 变换识别质量狄拉克方程的新玻色对称性成为可能。
• 该方法将先前关于64维 $\text{Cl}^\mathbb{R}(0,6)$ 和 $\text{Cl}^\mathbb{C}(0,6)$ 代数的结果推广至更高维。
• 该方法为研究高自旋粒子（特别是自旋-3/2）的一阶场方程提供了框架，且无需冗余分量。