[论文解读] Extended TQFT, Gauge Theory, AND 2-Linearization

Jeffrey C. Morton|arXiv (Cornell University)|Mar 30, 2010

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology参考文献 50被引用 8

一句话总结

本文将2-线性化函子扩展至包含上同调扭变，从而通过范畴化构造了带有3-上循环的完整Dijkgraaf-Witten拓扑规范场论。通过将群胚的光楔推广至包含上循环数据，该工作将扩展的TQFT实现为从扭变群胚的对称单oidal 2-范畴到2-向量空间的函子，从而范畴化地推导出具有规范群G和分类上循环ω的DW模型。

ABSTRACT

In this paper, we describe a relation between a categorical construction, called 2-linearization, and extended topological quantum field (ETQFT). We then describe an extension of the 2-linearization process which incorporates cohomological twisting. The 2-linearization process assigns 2-vector spaces to (finite) groupoids, functors between them to spans of groupoids, and natural transformations to spans between these. By applying this to groupoids which represent the (discrete) moduli spaces for topological gauge with finite group G, the ETQFT obtained is the untwisted Dijkgraaf-Witten (DW) model associated to G. This illustrates the factorization of TQFT into field theory valued in groupoids, and quantization functors, which has been described by Freed, Hopkins, Lurie and Teleman. We then describe how to extend this to the full DW model, by using a generalization of the symmetric monoidal bicategory of groupoids and spans which incorporates cocycles. We give a generalization of the 2-linearization functor which acts on groupoids and spans which have associated cohomological data. We show how the 3-cocycle {\omega} on the classifying space BG which appears in the action for the DW model induces a classical field valued in this bicategory.

研究动机与目标

• 将2-线性化过程扩展以包含上同调扭变，从而实现对完整Dijkgraaf-Witten模型的范畴化描述。
• 将群胚与光楔的对称单oidal 2-范畴推广，以纳入群胚的2-上循环。
• 阐明BG上的3-上循环ω如何自然地出现在扩展TQFT的古典场论部分。
• 建立ETQFT到场论取值于扭变群胚与扭变2-线性化函子的分解。
• 提供一个统一的范畴框架，整合拓扑规范场论的场论与量子化部分。

提出的方法

• 通过群胚上的2-上循环，将群胚与光楔的对称单oidal 2-范畴推广以包含上同调数据。
• 定义一个扭变2-线性化函子，其将2-向量空间赋予扭变群胚，将函子赋予扭变光楔，将自然变换赋予扭变光楔的态射。
• 构建一个取值于扭变群胚与光楔的扩展2-范畴的古典场论，其由BG上的3-上循环ω参数化。
• 利用有限群G的分类空间BG，将3-上循环ω解释为H^3(BG, U(1))中的特征类。
• 将扭变2-线性化函子应用于平坦G-丛的模群胚（离散），从而得到以3-函子形式取值于2-向量空间的完整DW TQFT。
• 证明所得TQFT重现了以ω加权的Dijkgraaf-Witten不变量。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何在拓扑量子场论的背景下，将2-线性化过程推广以包含上同调扭变？
• RQ2 支持规范场论的扭变群胚与光楔的范畴结构是什么？
• RQ3 BG上的3-上循环ω如何在扩展TQFT的古典场论部分中体现？
• RQ4 是否可以通过ETQFT的分解为场论与量子化函子，利用扭变结构重构完整的Dijkgraaf-Witten模型？
• RQ5 分类空间BG在通过上同调数据编码规范场论作用量中扮演什么角色？

主要发现

• 2-线性化函子成功通过群胚上的2-上循环扩展至包含上同调扭变，形成广义的对称单oidal 2-范畴。
• 扭变2-线性化将2-向量空间赋予扭变群胚，将函子赋予扭变光楔，将自然变换赋予扭变光楔的态射。
• ETQFT的古典场论部分被实现为扭变群胚与光楔2-范畴中的取值，其中BG上的3-上循环ω自然编码于结构之中。
• 由扭变2-线性化导出的TQFT重现了具有规范群G且作用量由ω加权的完整Dijkgraaf-Witten模型。
• 该构造为Freed、Hopkins、Lurie与Teleman所提出的ETQFT分解为场论与量子化提供了范畴化实现。
• 证明了BG上的3-上循环ω可诱导出扩展2-范畴中的古典场，直接将作用量函数与高阶范畴数据联系起来。