[论文解读] Extending functions from a neighborhood of the sphere to the ball

Valentin Seigneur|arXiv (Cornell University)|May 17, 2018

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology参考文献 2被引用 3

一句话总结

本文通过使用具有 $\mathbb{Z}$-系数的莫尔斯链复形以及一个由分次同构构成的群 $G(\tilde{f})$，提供了将定义在球面 $\mathbb{S}^n$ 附近的光滑函数芽扩展为球面上非临界函数的代数必要条件。当 $n \geq 6$ 时，在特定的指标和标记约束下，该扩展存在当且仅当 $\det(\partial_{++,k+1}) \equiv \pm 1 \mod d_1(\partial_{+-,k+1})$，其中 $d_1$ 是 $\partial_{+-,k+1}$ 块中元素的最大公因数。

ABSTRACT

In this article, we are interested in the problem of extending the germ of a smooth function $ ilde{f}$ defined along the standard sphere of dimension $n$ to a function defined on the ball which has no critical points. The article gives a necessary condition using the Morse chain complex associated to the function $f$, restriction of $ ilde{f}$ to the sphere $\mathbb{S}^n$, which is assumed to be a Morse function.

研究动机与目标

• 确定将定义在球面 $\mathbb{S}^n$ 附近的光滑函数芽扩展为闭球 $\mathbb{D}^{n+1}$ 上非临界函数的必要与充分条件。
• 通过引入基于具有 $\mathbb{Z}$-系数的莫尔斯复形的代数条件，推广巴兰尼科夫等人先前的组合结果。
• 在临界点指标和法向导数（标签 $\pm$）的约束下，刻画此类扩展存在的条件。
• 为 $n \geq 6$ 建立一个可计算的判别准则，涉及 $\partial_{++,k+1}$ 块的行列式模 $\partial_{+-,k+1}$ 中元素的最大公因数。
• 证明在对临界点指标和临界值排序增加额外拓扑约束的条件下，定理 3.1 中的必要条件变为充分条件。

提出的方法

• 将莫尔斯芽 $\tilde{f}$ 定义为在 $\partial M = \mathbb{S}^n$ 上的芽，且无临界点，并根据法向导数的符号对 $f = \tilde{f}|_{\mathbb{S}^n}$ 的临界点进行分类：$\mathcal{C}^+$（正）和 $\mathcal{C}^-$（负）。
• 构建具有 $\mathbb{Z}$-系数的莫尔斯链复形，将边界算子 $\partial_k$ 分解为 $\ell_1, \ell_2 \in \{+, -\}$ 的块 $\partial_{\ell_1\ell_2,k}$。
• 引入群 $G(\tilde{f})$，即保持标签和指标分解的分次同构群，通过流形上的柄滑动作用于临界点。
• 证明仅当存在 $M \in G(\tilde{f})$ 使得 $M\partial M^{-1}$ 的 $(-, +)$ 块为零，且 $++$ 块定义出在度数 $n$ 处为 $\mathbb{Z}$、其余度数处同调平凡的链复形时，才存在非临界扩展。
• 对于 $n \geq 6$，在仅有一个极大值、一个极小值，且仅有指标为 $k$ 和 $k+1$ 的临界点（满足 $2 \leq k \leq n-2$）的假设下，证明扩展存在的充要条件为 $\det(\partial_{++,k+1}) \equiv \pm 1 \mod d_1(\partial_{+-,k+1})$，其中 $d_1$ 是 $\partial_{+-,k+1}$ 中元素的最大公因数。
• 利用瑟夫理论和函数的通用路径，构造一个临界值有序的同伦莫尔斯函数 $f_1$ 和规范的柄滑动结构，从而推导出行列式条件。

实验结果

研究问题

• RQ1 在具有 $\mathbb{Z}$-系数的莫尔斯复形下，何种代数条件可使 $\mathbb{S}^n$ 上的非临界芽扩展至球面？
• RQ2 当 $n \geq 6$ 时，定理 3.1 中的必要条件是否足以保证非临界扩展？
• RQ3 能否将扩展问题约化为边界算子块上的可计算算术条件？
• RQ4 基于法向导数符号的标签 $\pm$ 和临界值的排序如何影响非临界扩展的存在性？
• RQ5 群 $G(\tilde{f})$ 在分次同构下的作用在将莫尔斯复形变换为可实现非临界扩展的形式中起什么作用？

主要发现

• 定理 3.1 中的必要条件——即存在 $M \in G(\tilde{f})$ 使得 $M\partial M^{-1}$ 的 $(-, +)$ 块为零，且 $++$ 块定义出在度数 $n$ 处为 $\mathbb{Z}$、其余度数处同调平凡的链复形——在一般情况下并不充分。
• 当 $n \geq 6$ 时，若 $f$ 仅有一个局部极大值、一个局部极小值，且仅有指标为 $k$ 和 $k+1$ 的临界点（满足 $2 \leq k \leq n-2$），则芽 $\tilde{f}$ 可非临界扩展当且仅当 $\det(\partial_{++,k+1}) \equiv \pm 1 \mod d_1(\partial_{+-,k+1})$，其中 $d_1$ 是 $\partial_{+-,k+1}$ 中元素的最大公因数。
• 条件 $\det(\partial_{++,k+1}) \equiv \pm 1 \mod d_1(\partial_{+-,k+1})$ 等价于矩阵 $\begin{pmatrix}\partial_{++,k+1} & \partial_{+-,k+1}\end{pmatrix}$ 的满射性，这确保了存在矩阵 $N_{k+1}$ 使得 $\partial_{++,k+1} + \partial_{+-,k+1}N_{k+1}$ 可逆。
• 证明通过柄滑动构造了函数 $f_1$，其临界值有序且边界算子被简化，最终实现了非临界扩展所要求的 $\mathbb{Z}$-同调条件。
• 群 $G(\tilde{f})$ 允许通过分次同构变换莫尔斯复形，其结构由临界值的顺序和临界点按 $\pm$ 的标记决定。
• 当所有指标为 $k$ 和 $k+1$ 的 $+$-标记临界点的临界值高于 $-$-标记临界点时，该条件变为可计算且完全代数化，从而可实现非临界可扩展性的算法验证。