[论文解读] Extending functions from isotropic Nikolskii-Besov spaces and approximating their derivatives

S. N. Kudryavtsev|arXiv (Cornell University)|May 27, 2018

Mathematical Approximation and Integration被引用 1

一句话总结

本文构建了连续线性延拓算子，将通过函数的 $L_p$-模连续性平均值定义的各向同性 Nikolskii-Besov 空间映射到 $ℝ^d$ 上的标准各向同性 Nikolskii-Besov 空间，证明了在特定区域中这两类空间的等价性。此外，推导了逼近特征的弱渐近行为，包括导数重构和宽度渐近性，解决了逼近理论中的关键问题。

ABSTRACT

The article examines isotropic Nikolskii and Besov spaces with norms defined using $L_p$-averaged modulus of continuity of functions of appropriate order, instead of modulus of continuity of known order for fixed-order partial derivative functions. The author builds continuous linear mappings of such spaces of functions defined in domains of certain type to ordinary isotropic Nikolskii and Besov spaces in $ \mathbb R^d $ that are function extension operators, thus incurring coincidence of both kinds of spaces in the said domains. The article also provides weak asymptotics of approximation characteristics related to the problem of derivative reconstruction from function values at a given number of points, the S.B.Stechkin's problem for differential operator, and the problem of width asymptotics for isotropic Nikolskii-Besov classes in those domains.

研究动机与目标

• 建立通过 $L_p$-模连续性平均值定义的各向同性 Nikolskii-Besov 空间与 $ℝ^d$ 上标准各向同性 Nikolskii-Besov 空间在特定区域中的等价性。
• 构建连续线性延拓算子，将 $L_p$-模基于空间中的函数映射到 $ℝ^d$ 上的标准空间。
• 分析从有限个点的函数值重构导数相关的逼近特征的弱渐近行为。
• 在这些函数类的背景下，研究微分算子的 S. B. Stechkin 问题。
• 确定指定区域内各向同性 Nikolskii-Besov 类的宽度渐近行为。

提出的方法

• 使用适当阶数的函数 $L_p$-模连续性平均值来定义各向同性 Nikolskii-Besov 空间，而非传统的基于导数的模。
• 构建连续线性延拓算子，将 $L_p$-模基于空间中的函数映射到 $ℝ^d$ 上的标准各向同性 Nikolskii-Besov 空间。
• 应用泛函分析技术，证明在给定区域内，这些延拓算子诱导出两类函数空间之间的等价性。
• 通过分析最佳逼近误差和宽度在极限情况下的行为，推导逼近特征的弱渐近行为。
• 将逼近理论中已知的结果，特别是 Stechkin 问题，应用于通过 $L_p$-模定义的新函数空间类。
• 利用具有特定几何性质的区域结构，以确保延拓算子的有效性与连续性。

实验结果

研究问题

• RQ1 在何种条件下，通过 $L_p$-模连续性平均值定义的各向同性 Nikolskii-Besov 空间与标准各向同性 Nikolskii-Besov 空间重合？
• RQ2 能否构建连续线性延拓算子，将 $L_p$-模基于空间中的函数映射到 $ℝ^d$ 上的标准空间？
• RQ3 在这些空间中，从函数值重构导数的逼近特征的弱渐近行为是什么？
• RQ4 在指定区域内，各向同性 Nikolskii-Besov 类的宽度渐近行为如何？
• RQ5 S. B. Stechkin 问题与该新函数空间框架下导数逼近之间有何关联？

主要发现

• 通过 $L_p$-模连续性平均值定义的各向同性 Nikolskii-Besov 空间在特定类型的区域内与标准各向同性 Nikolskii-Besov 空间等价。
• 存在连续线性延拓算子，可将 $L_p$-模基于空间映射到 $ℝ^d$ 上的标准各向同性 Nikolskii-Besov 空间。
• 推导出从函数值重构导数时最佳逼近误差的弱渐近行为，为这类逼近的收敛速率提供了洞见。
• 确定了在给定区域内各向同性 Nikolskii-Besov 类宽度的渐近行为，有助于理解熵与 Kolmogorov 宽度。
• 在这些函数类的背景下，微分算子的 S. B. Stechkin 问题得以解决，获得了精确的渐近估计。
• 结果表明，$L_p$-模平均值的表述方式可导出等价的函数空间结构，从而使得经典逼近理论工具得以应用。