[论文解读] Extending Homotopy Type Theory with Strict Equality

Thorsten Altenkirch, Paolo Capriotti+1 more|Nottingham ePrints (University of Nottingham)|Apr 13, 2016

Logic, programming, and type systems参考文献 1被引用 17

一句话总结

本文提出了一种两层类型理论，通过在外层引入严格相等类型，扩展了同伦类型理论（HoTT），同时在内层保留HoTT的弱相等性。通过避免相等性反射并依赖外层理论中的唯一身份证明，该系统在保持可判定性的同时，实现了对复杂构造（如Reedy纤维化半单纯类型和无限一致性塔）的内化，这些构造在标准HoTT中原本无法实现。

ABSTRACT

In homotopy type theory (HoTT), all constructions are necessarily stable under homotopy equivalence. This has shortcomings: for example, it is believed that it is impossible to define a type of semi-simplicial types. More generally, it is difficult and often impossible to handle towers of coherences. To address this, we propose a 2-level theory which features both strict and weak equality. This can essentially be represented as two type theories: an "outer" one, containing a strict equality type former, and an "inner" one, which is some version of HoTT. Our type theory is inspired by Voevosky's suggestion of a homotopy type system (HTS) which currently refers to a range of ideas. A core insight of our proposal is that we no not need any form of equality reflection in order to achieve what HTS was suggested for. Instead, having unique identity proofs in the outer type theory is sufficient, and it also has the meta-theoretical advantage of not breaking decidability of type checking. The inner theory can be an easily justifiable extensions of HoTT, allowing the construction of "infinite structures" which are considered impossible in plain HoTT. Alternatively, we can set the inner theory to be exactly the current standard formulation of HoTT, in which case our system can be thought of as a type-theoretic framework for working with "schematic" definitions in HoTT. As demonstrations, we define semi-simplicial types and formalise constructions of Reedy fibrant diagrams.

研究动机与目标

• 解决HoTT中无法内化需要无限一致性数据塔的构造（如Reedy纤维化图和半单纯类型）的局限性。
• 提供一种类型理论框架，支持‘图式’定义和无限结构，而不破坏可判定性或需要相等性反射。
• 实现对HoTT元理论结果的内化，例如纤维化替换的构造以及类型族作为(∞,1)-范畴的构造。
• 为在类型理论中建立(∞,1)-范畴的综合理论和高阶归纳类型（HIT）奠定基础。
• 证明此前仅能在元理论中实现的构造（如纤维化极限和Reedy纤维化图）现在可被内部形式化。

提出的方法

• 引入一种两层类型理论，外层具有严格相等性，内层基于标准HoTT，允许严格相等与弱相等共存。
• 在外层理论中使用唯一身份证明（UIP）以确保类型检查的可判定性，避免使用相等性反射。
• 通过自然数上的互递归定义来定义Reedy纤维化图，利用定理4.10对匹配对象进行类型论编码。
• 将半单纯类型构造为Δ₊^op上的Reedy纤维化图，通过涉及匹配对象上纤维化的递归类型定义实现。
• 通过定义常值函子A的Reedy纤维化替换，内化纤维化替换的构造，从而得到一个∞-群胚结构。
• 提出一种(∞,1)-范畴的综合框架，将其定义为Reedy纤维化半单纯类型，其中Segal映射为等价映射，未来可扩展以包含退化映射。

实验结果

研究问题

• RQ1 是否可以在不破坏可判定性的前提下，将无限一致性塔（如Reedy纤维化图所需者）内化于类型理论框架中？
• RQ2 是否可能在不依赖元理论构造的前提下，于HoTT中内化半单纯类型的定义？
• RQ3 在类型理论框架中，类型族是否可自然地理解为(∞,1)-范畴？
• RQ4 如何形式化高阶归纳类型（HIT）的定义，以处理当前句法方法中难以管理的大量一致性？
• RQ5 纤维化替换的构造是否可被内化，从而在任意类型上诱导出一个∞-群胚结构？

主要发现

• 所提出的两层类型理论通过在自然数上互递归编码及在匹配对象上的纤维化，成功将Reedy纤维化图（包括半单纯类型）内化。
• 通过在外层严格相等性层中依赖唯一身份证明，系统实现了类型检查的可判定性，而无需使用相等性反射。
• 通过将半单纯类型Eq_A构造为常值函子A的Reedy纤维化替换，得到一个∞-群胚，证明了每个类型在内部都携带一个∞-群胚结构。
• 该框架使得元理论结果（如类型理论模型上的图构成保持Univalence的模型）得以内化，前提是构造以构造性方式表述。
• 本文通过将Segal类型定义为具有同伦一致复合性的Reedy纤维化半单纯类型，为发展综合(∞,1)-范畴理论奠定了基础。
• 该方法通过允许有限的、归纳的构造来隐式编码更高的一致性，解决了HoTT中处理无限一致性塔的问题。