[论文解读] Extending linear and quadratic functions from high rank varieties

David Kazhdan, Tamar Ziegler|arXiv (Cornell University)|Dec 4, 2017

Finite Group Theory Research参考文献 8被引用 4

一句话总结

本文確立了弱線性或二次函數在高秩代數概形上可延拓為仿射空間上全域線性或二次函數的條件。對於有限域與複數，本文證明：若齊次完全交的次數為 $d$、余維為 $L$，且秩足夠高，則其為可接受的——即其上的弱線性/二次函數均為全域線性/二次函數的限制。關鍵結果為：當特徵大於 $d$ 時，存在一個與有限域大小無關的統一秩閾值 $r(d,L)$。此結果依賴於對輔助概形 $E(X)$ 上有理點數量的控制，進而透過代數幾何與點計數技術實現維數估計與可接受性證明。

ABSTRACT

Let $k$ be a field, $V$ be a $k$-vector space and $X\subset V$ an algebraic irreducible subvariety. We say that a function $f:X(k) o k$ is weakly linear if its restriction to any two-dimensional linear subspace $W$ of $V$ contained in $X$ is linear and that it is weakly quadratic if its restriction to any three-dimensional linear subspace $W$ of $V$ contained in $X$ is quadratic. We say that $X$ is admissible if any weakly linear function on $X$ is a restriction of a linear function on $V$ and any weakly quadratic function on $X$ is a restriction of a quadratic function on $V$. The main result in the paper concerns the case when the field $k$ is a finite. We show that for any $d,L\geq 1$ there exists $r=r(d,L,k)\in \mathbb Z _+$ such that any complete intersection $X\in V$ in a vector space $V$ of codimension $L$, degree $d$ and rank $\geq r$ is admissible. Moreover we show the existence of a function $r(d,L)$ such that one can take $r(d,L,k)=r(d,L)$ for all finite fields $k$ of characteristic $>d$. The proof of the admissibility for finite fields $k$ is based on bounds on the number of $k$-points on ancillary varieties $E(X)$. These results allow us to bound the dimension of varieties $E(X)$. Using these results we were able to prove the admissibility of complex homogeneous varieties of high rank. Using the results of \cite{br} one can extend our proofs to show the admissibility of varieties of high rank over local non-archimedian fields. Also using Corollary $4.3$ of \cite{cmpv} one can dispense with the assumption that $X$ is a complete intersection.

研究动机与目标

• 確定弱線性或二次函數在代數概形上可延拓為仿射空間上全域線性或二次函數的條件。
• 建立有限域與複數上高秩齊次完全交的可接受性。
• 證明存在一個與有限域大小無關的統一秩閾值 $r(d,L)$，當特徵大於 $d$ 時，確保可接受性。
• 利用輔助概形 $E(X)$ 上的點計數，控制其維數，並推導全域延拓結果。

提出的方法

• 將弱線性與弱二次函數定義為在包含於概形中的低維子空間上限制為線性或二次的函數。
• 引入可接受性的概念：若其上所有弱線性（相應地弱二次）函數均為全域線性（相應地弱二次）函數的限制，則該概形為可接受的。
• 利用對輔助概形 $E(X)$ 上 $k$-有理點數量的界，控制其維數，進而推導有限域上的可接受性。
• 應用 Weil 型估計與可構造集理論，將有限域上的點計數與 $\mathbb{C}$ 上的幾何維數聯繫起來，實現結果的轉移。
• 利用當 $\mathrm{char}(k) > d$ 時，閾值 $r(d,L,k)$ 可取為與 $k$ 無關的事實，進而獲得統一界。
• 利用 [3] 和 [4] 的結果，將可接受性推廣至一般高秩齊次概形，不僅限於完全交。

实验结果

研究问题

• RQ1 對於概形 $X \subset V$，在何種條件下，其上每一個弱線性函數 $f: X(k) \to k$ 均可延拓為 $V$ 上的全域線性函數？
• RQ2 哪些類別的概形滿足其上每一個弱二次函數均為 $V$ 上全域二次函數的限制？
• RQ3 當 $\mathrm{char}(k) > d$ 時，可接受性的秩閾值 $r(d,L,k)$ 是否可取為與有限域 $k$ 無關？
• RQ4 輔助概形 $E(X)$ 上有理點數量的界如何與 $X$ 的維數及可接受性相關？
• RQ5 在可接受性結果中，能否放棄 $X$ 為完全交的假設？

主要发现

• 對於任意 $d, L \geq 1$，存在一閾值 $r(d,L)$，使得任何次數為 $d$、余維為 $L$、秩大於 $r(d,L)$ 的齊次完全交 $X \subset V$，在特徵大於 $d$ 的有限域上均為可接受的。
• 當 $\mathrm{char}(k) > d$ 時，閾值 $r(d,L,k)$ 可取為與有限域 $k$ 無關，確保在所有此類域上具有統一可接受性。
• 在 $\mathbb{C}$ 上，任何秩足夠高的齊次完全交對弱線性與弱二次函數均為可接受的。
• 輔助概形 $E(X)$ 上的 $k$-有理點數量下界為 $|\mathbb{P}(V)(k)| / q^{O_{d,m,L}(1)}$，此界可用於透過點計數進行維數估計。
• 概形 $E^r \subset \mathbb{A}^N \times \mathbb{A}^N \times \mathbb{A}^N \times Z^r$ 的維數滿足 $\dim(E^r_z) \leq 3N - s$，其中 $s \geq 1$，且在適當的秩條件下，對所有 $z \in Z^r(\mathbb{C})$ 均成立。
• 利用 [3] 和 [4] 的結果，可接受性結果可推廣至 $\mathbb{C}$ 與局部非阿基米德域上的所有高秩齊次概形，不僅限於完全交。