[论文解读] Extending partial representations of function graphs and permutation graphs

Pavel Klavík, Jan Kratochvı́l+2 more|arXiv (Cornell University)|Apr 28, 2012

Advanced Graph Theory Research参考文献 12被引用 6

一句话总结

本文研究了在 [0,1] 上使用连续实值函数对函数图和排列图的部分表示进行扩展的复杂性。对于在全区间上定义的完整部分表示（即函数在整个区间上定义），本文提出了一个多项式时间算法；然而，当函数仅在子区间上定义时，证明了该问题为 NP-完全，凸显了这两种情形之间复杂性的显著转变。

ABSTRACT

Function graphs are graphs representable by intersections of continuous real-valued functions on the interval [0,1] and are known to be exactly the complements of comparability graphs. As such they are recognizable in polynomial time. Function graphs generalize permutation graphs, which arise when all functions considered are linear. We focus on the problem of extending partial representations, which generalizes the recognition problem. We observe that for permutation graphs an easy extension of Golumbic's comparability graph recognition algorithm can be exploited. This approach fails for function graphs. Nevertheless, we present a polynomial-time algorithm for extending a partial representation of a graph by functions defined on the entire interval [0,1] provided for some of the vertices. On the other hand, we show that if a partial representation consists of functions defined on subintervals of [0,1], then the problem of extending this representation to functions on the entire interval [0,1] becomes NP-complete.

研究动机与目标

• 研究函数图和排列图部分表示扩展的复杂性。
• 确定当仅部分顶点被预先分配函数时，通过 [0,1] 上的连续函数扩展部分表示是否仍为可 tractable（易处理）问题。
• 探究几何图表示扩展问题中多项式时间可解性与 NP-完全性之间的边界。
• 基于部分函数定义在全区间还是子区间上，建立复杂性的二分法。

提出的方法

• 通过可比图的传递定向，将函数图部分表示的扩展问题约化为偏序集扩展问题。
• 为每个顶点 u 定义一个区域 Reg(u)，即由部分表示中函数相对顺序所确定的区间的交集。
• 应用引理 5：当且仅当任意两个不可比顶点的区域 Reg(u) 和 Reg(v) 的交集非空时，部分函数表示可扩展。
• 使用多项式时间算法测试不可比顶点之间区域的两两交集是否非空。
• 构造从 3-SAT 到 NP-完全性的归约，以证明当部分函数在子区间上定义时，问题为 NP-完全。
• 利用模块化分解和定向约束，在图构造中编码变量和子句的结构。

实验结果

研究问题

• RQ1 在 [0,1] 上使用全定义域函数扩展函数图的部分表示问题是否可在多项式时间内求解？
• RQ2 当部分函数仅在 [0,1] 的子区间上定义时，扩展问题的复杂性是否发生显著变化？
• RQ3 函数图的扩展问题是否可通过可比图的传递定向约化为偏序集扩展问题？
• RQ4 当部分表示由在子区间而非全区间上定义的函数给出时，扩展问题是否为 NP-完全？
• RQ5 图和部分表示的哪些结构性质决定了扩展问题的可 tractable 性或不可 tractable 性？

主要发现

• 在全区间 [0,1] 上定义的函数扩展函数图部分表示的问题可在多项式时间内求解。
• 当部分表示由仅在 [0,1] 的子区间上定义的函数构成时，该问题变为 NP-完全。
• 可扩展性的充要条件是：每对不可比顶点 u 和 v 的区域 Reg(u) 和 Reg(v) 必须相交。
• 从 3-SAT 的归约表明，NP-完全性结果是紧致且具有结构性的，其中变量和子句顶点编码了可满足性约束。
• 对于排列图，Golumbic 算法的扩展可实现多项式时间求解，但该方法在一般函数图中失效。
• 基于区间交集的区域表征为可 tractable 情况提供了关键的算法工具。