[论文解读] Extending Partial Representations of Subclasses of Chordal Graphs

Pavel Klavík, Jan Kratochvı́l+2 more|arXiv (Cornell University)|Jul 1, 2012

Advanced Graph Theory Research参考文献 17被引用 8

一句话总结

本文研究了通过修改底层树结构来扩展弦图及其子类（区间图、正规区间图和路径图）的部分表示的复杂性。研究结果表明，对于大多数变体，该问题为NP完全问题，关键结果通过从3-Partition和Bin Packing问题的归约得到证明；同时，识别出在某些参数化下问题具有固定参数可追踪性，特别是当部分树的大小有界时。

ABSTRACT

Chordal graphs are intersection graphs of subtrees of a tree T. We investigate the complexity of the partial representation extension problem for chordal graphs. A partial representation specifies a tree T' and some pre-drawn subtrees of T'. It asks whether it is possible to construct a representation inside a modified tree T which extends the partial representation (i.e, keeps the pre-drawn subtrees unchanged). We consider four modifications of T' and get vastly different problems. In some cases, it is interesting to consider the complexity even if just T' is given and no subtree is pre-drawn. Also, we consider three well-known subclasses of chordal graphs: Proper interval graphs, interval graphs and path graphs. We give an almost complete complexity characterization. We further study the parametrized complexity of the problems when parametrized by the number of pre-drawn subtrees, the number of components and the size of the tree T'. We describe an interesting relation with integer partition problems. The problem Partition is used for all NP-completeness reductions. The extension of interval graphs when the space in T' is limited is "equivalent" to the BinPacking problem.

研究动机与目标

• 表征在各种树结构修改类型下，弦图及其子类中部分表示扩展的计算复杂性。
• 研究弦图的部分表示扩展问题是否严格难于图的识别，与已知的可解情况形成对比。
• 研究以预绘制的子树数量、连通分量数量以及部分树大小为参数的参数复杂性。
• 识别开放问题并为几何图类的表示扩展研究提供未来方向。

提出的方法

• 通过从NP完全的3-Partition问题归约，证明大多数扩展问题变体的NP完全性。
• 利用树中子树的Helly性质，验证部分树内表示扩展的有效性。
• 应用PQ树技术与子树枚举，分析当部分树大小有界时的固定参数可追踪性。
• 改编装箱问题的归约方法，以建模空间受限的区间表示扩展。
• 在部分树中构造通用顶点，以保持连通性并在NP完全性证明中施加约束。
• 对弦图的三个子类中四种树结构修改类型（Sub（子树）、Add（添加）、Fixed（无变化）、Both（组合））进行形式化分析。

实验结果

研究问题

• RQ1 当允许同时使用子树和添加修改（即'Both'类型）时，路径图的部分表示扩展问题的复杂性如何？
• RQ2 当以预绘制区间的数量为参数时，区间图的部分表示扩展问题是否仍具有可解性？
• RQ3 对于路径图和弦图的'Fixed'修改类型，当以部分树大小为参数时，问题是否具有固定参数可追踪性？
• RQ4 以预绘制子树数量、连通分量数量和部分树大小为参数时，不同参数化如何影响扩展问题的复杂性？
• RQ5 PQ树方法能否推广以在关于预绘制区间数量的XP时间内求解区间图的扩展问题？

主要发现

• 弦图的部分表示扩展问题在除一种情况外的所有情况下均为NP完全问题，表明其严格难于图的识别，这是该类图的首次发现。
• 即使仅预绘制一个子树或图连通，问题仍为NP完全，表明低复杂度参数无法简化问题。
• 对于'Fixed'修改类型，问题关于部分树大小具有固定参数可追踪性，时间复杂度为O(n + m + 2^{t^{2^t}})，其中t为部分树的大小。
• 在空间约束下对区间图的扩展等价于装箱问题，建立了几何表示与组合优化之间的强关联。
• 在'Both'修改类型下，路径图的部分表示扩展问题仍为开放问题，是复杂性分类中唯一未解决的情况。
• 除一种情况外，所有问题在k = 0或k = 1时均为NP完全，表明即使最小的预绘制也无法降低复杂性，且在路径图的'Add'修改情况下，问题为W[1]-难。