[论文解读] Extending the class of solvable potentials. IV Inverse square potential with a rich spectrum

A. D. Alhaidari|arXiv (Cornell University)|Jun 28, 2017

Quantum Mechanics and Non-Hermitian Physics参考文献 18被引用 3

一句话总结

本文利用三对角表示法（TRA）在S波通道中引入了一种新型四参数反平方势，该方法将薛定谔方程重新表述为可通过正交多项式求解的三阶递推关系。主要贡献在于通过复能量平面上的复标度法揭示了丰富的能谱结构，包括束缚态和共振态。

ABSTRACT

This is the fourth article in a series where we succeed in enlarging the class of exactly solvable quantum systems. We do that by working in a complete set of square integrable basis that carries a tridiagonal matrix representation for the wave operator. Consequently, the matrix wave equation becomes a three-term recursion relation for the expansion coefficients of the wavefunction. Finding solutions of this recursion relation in terms of orthogonal polynomials is equivalent to solving the original problem. This method, called the Tridiagonal Representation Approach (TRA), gives a larger class of solvable potentials. Here, we obtain S-wave solutions for a new four-parameter 1/r2 singular but short-range radial potential with an elaborate configuration structure and rich spectral property. A particle scattered by this potential has to overcome a barrier then could be trapped within the potential valley in a resonance or bound state. Using complex scaling (complex rotation), we display the rich spectral property of the potential in the complex energy plane for non-zero angular momentum and show how this structure varies with the physical parameters.

研究动机与目标

• 将精确可解量子势的类别扩展至标准形式之外。
• 研究具有四个可调参数的奇异、短程1/r²势的谱性质。
• 利用先进解析技术探索此类势中束缚态与共振态的存在性与行为特征。
• 展示三对角表示法（TRA）在求解具有非平凡势结构的复杂量子系统方面的强大能力。

提出的方法

• 通过将波函数展开为完备的平方可积基函数集，应用三对角表示法（TRA）。
• 将波算符表示为三对角矩阵，从而将薛定谔方程转化为展开系数的三阶递推关系。
• 利用正交多项式构造递推关系的解，实现精确可解性。
• 采用复标度法（复旋转）将连续谱映射至复能量平面以进行谱分析。
• 该方法可系统地探索势能谱随其四个物理参数的变化情况。
• 该方法可通过复能量平面上极点的分布识别束缚态与共振态。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否在TRA框架下精确求解具有奇异、短程形式的四参数反平方势？
• RQ2 该新势中的束缚态与共振态的性质是什么？它们如何依赖于势参数？
• RQ3 在复标度作用下，该势的能谱结构在复能量平面上如何演化？
• RQ4 势垒在实现共振散射与束缚态形成过程中起到何种作用？
• RQ5 TRI方法能否有效扩展至超越标准可解模型、具有丰富能谱特征的势？

主要发现

• 所提出的四参数反平方势由于其复杂的势阱与势垒结构，能够支持束缚态与共振态。
• 通过复标度法在复能量平面上全面表征了谱性质，揭示了对应于共振态的丰富极点分布。
• TRA方法成功通过所导出的三阶递推关系的正交多项式解获得精确解。
• 该势表现出非平凡的构型结构，允许多个束缚态及共振散射通道。
• 能谱随四个物理参数的变化系统性演变，展现出可调谐的谱特征。
• 可应要求提供该势能谱演化过程的视频动画，直观展示复能量平面上的动态变化。